Sônia atrasou por 50 dias o pagamento de uma conta no valor de R$ 1.000,00. Ela verificou que pagaria 0,2 % de juros diários de multa, mas não sabia se os juros eram compostos ou simples. Usando a aproximação (1+x)n ≅ 1+nx+n(n-1)x²/2, ela concluiu que a diferença entre juros compostos e juros simples corresponderia a um valor situado entre:
- A)R$ 3,00 e R$ 3,50;
Errada, porque a diferença calculada fica acima de R$ 4,50, então não pode estar entre R$ 3,00 e R$ 3,50.
- B)R$ 3,50 e R$ 4,00;
Errada, porque o valor obtido é maior que R$ 4,00, logo não entra no intervalo de R$ 3,50 a R$ 4,00.
- C)R$ 4,00 e R$ 4,50;
Errada, porque a diferença aproximada é de R$ 4,90, então ultrapassa o limite superior de R$ 4,50.
- D)R$ 4,50 e R$ 5,00;
Certa, pois a diferença entre juros compostos e simples é aproximadamente R$ 4,90, que está entre R$ 4,50 e R$ 5,00.
- E)R$ 5,00 e R$ 5,50.
Errada, porque o resultado fica abaixo de R$ 5,00, então não alcança o intervalo de R$ 5,00 a R$ 5,50.
Gabarito: D
Nesta questão, o ponto central é comparar juros simples com juros compostos. Em juros simples, a taxa incide sempre sobre o capital inicial. Em juros compostos, a taxa vai incidindo sobre o saldo acumulado, então o valor cresce um pouco mais a cada período - é o famoso "juros sobre juros". Aqui, o capital é de R$ 1.000,00, a taxa diária é de 0,2% ao dia, isto é, 0,002, e o prazo é de 50 dias. Nos juros simples, o acréscimo é direto: J = 1000 x 0,002 x 50 = 100. Logo, o montante seria R$ 1.100,00. Para os compostos, a conta é 1000 x (1,002)^{50}. Como a questão autoriza a aproximação (1+x)^n ≅ 1 + nx + n(n-1)x²/2, fazemos: 1 + 50(0,002) + 50·49·(0,002)^2/2. Isso dá 1 + 0,1 + 0,0049 = 1,1049, então o montante aproximado é R$ 1.104,90. A diferença entre os juros compostos e os juros simples é, portanto, de R$ 104,90 - R$ 100,00 = R$ 4,90. Esse valor cai no intervalo entre R$ 4,50 e R$ 5,00, que corresponde à alternativa D. Em prova, sempre vale lembrar: no começo a diferença parece pequena, mas ela vai crescendo com o tempo.