Assinale a opção que mostra durante quanto tempo um investidor deve manter seu capital em uma aplicação, que rende uma taxa de 10% a.a., para que ele dobre o seu valor. [Use ln(1,1) = 0,1 e ln(2) = 0,7]
- A)6 anos.
Errada, porque 6 anos ainda é pouco para que 100% de ganho seja atingido a 10% ao ano em regime composto.
- B)7 anos.
Certa, pois t = ln(2) / ln(1,1) = 0,7 / 0,1 = 7 anos.
- C)8,5 anos.
Errada, pois 8,5 anos superestima o tempo necessário; o cálculo exato com os logaritmos dados leva a 7 anos.
- D)9 anos.
Errada, porque 9 anos passa do ponto em que o capital já teria dobrado.
- E)10 anos.
Errada, porque 10 anos corresponde a um tempo maior do que o necessário para duplicar o capital a essa taxa.
Gabarito: B
Quando a taxa é composta, o crescimento do capital segue a fórmula Cn = C0(1+i)^t. Aqui, o enunciado quer saber em quanto tempo o capital dobra, isto é, quando Cn = 2C0. Substituindo na fórmula, fica 2 = (1,1)^t. Para achar o tempo, a ferramenta mais prática é aplicar logaritmo natural nos dois lados: ln(2) = t·ln(1,1). Isso transforma a potência em multiplicação e resolve a incógnita sem sofrimento. Isolando t, temos t = ln(2) / ln(1,1). Como o problema já fornece ln(2) = 0,7 e ln(1,1) = 0,1, então t = 0,7 / 0,1 = 7 anos. Portanto, a aplicação precisa ficar investida por 7 anos para o capital dobrar. Esse é um caso clássico de juros compostos, muito cobrado em concursos: quando há taxa percentual ao ano e pergunta sobre duplicar valor, a banca costuma esperar que você use a relação exponencial e os logaritmos de forma direta.