Um investidor aplicou o valor de R$ 45.000,00 considerando o regime de capitalização contínua com uma taxa de 16,4% ao ano por um determinado tempo T, conseguindo um montante de R$ 67.500,00. Assumindo que o logaritmo neperiano de 1,5 é dado por 0,41, o tempo T, em semestres, é:
- A)3
Errada, porque 3 semestres não satisfaz a equação da capitalização contínua com a taxa e o montante dados.
- B)5
Certa, pois ao aplicar M = C·e^(i·t) e converter o tempo para semestres, chega-se a T = 5.
- C)7
Errada, porque 7 semestres geraria um montante maior do que R$ 67.500,00 com essa taxa contínua.
- D)9
Errada, porque 9 semestres também ultrapassaria o montante informado no enunciado.
Gabarito: B
Na capitalização contínua, a fórmula do montante é M = C·e^(i·t), em que i é a taxa no período da taxa e t é o tempo na mesma unidade. Aqui, o capital foi de R$ 45.000,00 e o montante de R$ 67.500,00, então a razão fica 67.500/45.000 = 1,5. Logo, temos e^(i·t) = 1,5 e, aplicando logaritmo neperiano, chega-se a i·t = ln(1,5). Como o enunciado informa ln(1,5) = 0,41 e a taxa é 16,4% ao ano, então 0,164·t = 0,41, mas atenção: o tempo pedido está em semestres, então t = T/2. Assim, 0,164·(T/2) = 0,41, ou seja, 0,082T = 0,41. Resolvendo, T = 5 semestres, que é exatamente o gabarito B.