Sumário

Nove módulos sobre o aprofundamento técnico das ferramentas vistas na aula 01. Aqui você ganha velocidade e precisão em tabelas-verdade complexas e domina diagramas lógicos para qualquer banca.

1. Proposições simples: revisão profunda

   Valor verdade, sentenças abertas, paradoxos
   p. 04
2. Proposições compostas: estrutura

   Conectivos como operadores binários, fórmulas bem-formadas
   p. 06
3. Tabela-verdade: técnica completa

   Padrão de preenchimento, subexpressões, ordem
   p. 09
4. Tabela-verdade com 3 e 4 variáveis

   8 e 16 linhas, organização e velocidade
   p. 12
5. Equivalência por tabela-verdade

   Comparar duas fórmulas linha a linha
   p. 15
6. Diagramas lógicos: introdução

   Venn, Euler-Venn e outras representações visuais
   p. 18
7. Diagramas em silogismos

   Validar argumentos categóricos visualmente
   p. 21
8. Diagramas em problemas contagem-set

   Pessoas em dois ou três grupos com sobreposição
   p. 23
9. Aplicações em prova

   Como cai em CESPE, FCC, FGV, VUNESP
   p. 25
10. Mapa mental e revisão

    A aula inteira em duas páginas
    p. 27
11. 10 questões comentadas

    Padrão das bancas, comentadas pelo Affonsinho
    p. 29

Meta desta aula

Ganhar velocidade e segurança em tabelas-verdade até 4 variáveis. Comparar fórmulas por equivalência sem hesitação. Validar silogismos via diagramas. Resolver problemas de contagem com diagrama de Venn de 2 ou 3 conjuntos.

O que você vai aprender

O Fuffu prepara o terreno

Aula técnica e quase mecânica. Não há muito a interpretar; é praticar a construção de tabelas e diagramas até virar reflexo. No final, você vai resolver a maioria das questões de RLM em segundos, sem usar lápis.

Prof. Affonsinho explica, Módulo 01

1 Proposições simples: revisão profunda

O que faz algo ser proposição

Uma sentença é proposição quando, em determinado contexto, admite um e apenas um valor verdade: verdadeiro (V) ou falso (F). Três condições obrigatórias:

1. Afirma alguma coisa (não pergunta, não ordena, não exclama).
2. Tem sentido completo (não depende de variável indefinida).
3. Não é autocontraditória (não é paradoxo).

Exemplos por categoria

Detalhe: valor verdade desconhecido

Uma sentença pode ter valor verdade indeterminado para o observador, mas ainda ser proposição. "Marte tem vida microbiana." é proposição: ou tem (V) ou não tem (F); só não sabemos qual. Diferente de "x é par", que NÃO é proposição porque depende de x.

Dica do Fuffu

Em prova, distinga sempre proposição de sentença aberta. Se aparece variável (x, y, n) sem valor especificado, é sentença aberta, não proposição. Sentenças abertas só viram proposições quando você atribui valor à variável.

Prof. Affonsinho explica, Módulo 01

Os três princípios da lógica clássica

1. Identidade: toda proposição é idêntica a si mesma. Se p é V, p é V.
2. Não-contradição: nenhuma proposição pode ser, ao mesmo tempo, V e F. p ∧ ¬p é sempre F.
3. Terceiro excluído: toda proposição é V ou F, sem terceira via. p ∨ ¬p é sempre V.

Variáveis proposicionais

Em lógica formal, usamos letras minúsculas (p, q, r, s, t) para representar proposições simples. Cada letra é uma variável proposicional que pode receber V ou F.

Exemplo:

• p: "Hoje é segunda."
• q: "Tem aula."
• r: "O professor faltou."

Constantes proposicionais

Há duas constantes lógicas:

• ⊤ (top): sempre verdadeiro. Tautologia constante.
• ⊥ (bottom): sempre falso. Contradição constante.

Pouco usadas em prova de concurso, mas podem aparecer em questões de fundamentos.

Cuidado com o "valor verdade"

O valor verdade é uma propriedade da proposição em determinado contexto. "Está chovendo" é V quando chove, F quando não chove. Em lógica formal, fixamos o contexto e atribuímos um único valor por linha da tabela-verdade.

Bate-papo com o Seu Teoffilo

Lógica clássica, ou lógica de Aristóteles, lida com proposições bivalentes: V ou F, sem meio-termo. Existem lógicas alternativas (fuzzy, paraconsistente, intuicionista) que admitem mais valores ou rejeitam o terceiro excluído. Mas concurso público cobra a clássica. Por isso a regra "ou V ou F" é absoluta aqui.

Prof. Affonsinho explica, Módulo 02

2 Proposições compostas: estrutura

Conectivos como operadores

Cada conectivo lógico é um operador que recebe uma ou duas proposições e produz uma nova proposição. Tabela rápida:

Fórmulas bem-formadas

Uma fórmula é bem-formada quando obedece às regras de construção:

1. Toda proposição simples (p, q, r) é fórmula.
2. Se A é fórmula, ¬A é fórmula.
3. Se A e B são fórmulas, A ∧ B, A ∨ B, A → B, A ↔ B também são.
4. Não há outras fórmulas.

Exemplos de fórmulas bem-formadas:

• p
• ¬p
• p ∧ q
• (p ∧ q) → r
• ¬(p ∨ ¬q) ↔ (r → s)

Exemplos NÃO bem-formados:

• p ∧ (operador sem segunda operando)
• ∧ p ∨ q (operador no lugar errado)
• p q (sem conectivo)

Dica do Fuffu

Pensa em fórmula bem-formada como frase gramaticalmente correta. Um conectivo binário precisa de duas fórmulas, uma de cada lado. A negação precisa de uma fórmula à direita. Parênteses servem para agrupar. Se a "frase" está incompleta, não é fórmula.

Prof. Affonsinho explica, Módulo 02

Ordem de precedência

Quando faltam parênteses, segue-se a ordem (do mais forte ao mais fraco):

1. ¬ (negação)
2. ∧ (conjunção)
3. ∨ (disjunção)
4. → (condicional)
5. ↔ (bicondicional)

Conectivo mais "forte" liga primeiro. A negação é a mais agarradora; o bicondicional é o mais frouxo.

Exemplo de leitura sem parênteses

Considere: ¬p ∧ q → r ↔ s

Aplicando precedência:

1. Negação primeiro: (¬p) ∧ q → r ↔ s
2. Conjunção depois: ((¬p) ∧ q) → r ↔ s
3. Condicional: (((¬p) ∧ q) → r) ↔ s
4. Bicondicional, último: ((((¬p) ∧ q) → r)) ↔ s

A fórmula equivale a: ((¬p ∧ q) → r) ↔ s.

Boas práticas

Em prova, é prudente usar parênteses sempre que houver dúvida. A banca pode propositalmente omitir parênteses para testar se você sabe precedência.

Conectivo principal

O conectivo PRINCIPAL de uma fórmula é aquele que "fica de fora" depois de todas as outras associações. É o último a ser aplicado.

Exemplo: em ((¬p ∧ q) → r) ↔ s, o conectivo principal é ↔ (bicondicional). Identificar o conectivo principal é essencial para construir a tabela-verdade corretamente.

Bate-papo com o Seu Teoffilo

A precedência dos conectivos é convenção, não lei da natureza. Diferentes textos de lógica usam ordens ligeiramente diferentes. Em concurso brasileiro, a ordem é como descrita: ¬, ∧, ∨, →, ↔. Decora essa ordem para a banca padrão.

Prof. Affonsinho explica, Módulo 02

Subfórmulas

Uma subfórmula é qualquer parte de uma fórmula que, isoladamente, também é fórmula bem-formada.

Exemplo: na fórmula F = (p ∧ q) → ¬r, as subfórmulas são:

• p
• q
• r
• ¬r
• p ∧ q
• (p ∧ q) → ¬r (a fórmula completa)

Árvore de análise

Toda fórmula pode ser representada como árvore, com o conectivo principal na raiz e as subfórmulas nos ramos. Para F = (p ∧ q) → ¬r:

       →
      / \
     ∧   ¬
    / \   \
   p   q   r
    

A árvore facilita identificar a ordem de cálculo na tabela-verdade: comece pelas folhas (proposições simples) e suba até a raiz.

Importância prática

Identificar subfórmulas e o conectivo principal é o primeiro passo para construir tabela-verdade correta. Se você confunde a estrutura, calcula errado.

Coach Jeff, macete

Sempre destaque o conectivo principal antes de fazer a tabela-verdade. Se for ↔, vai precisar calcular os dois lados independentemente. Se for ∧, basta calcular cada parte e juntar. O conectivo principal define a estratégia.

Prof. Affonsinho explica, Módulo 03

3 Tabela-verdade: técnica completa

Passo 1: contar variáveis

Identifique quantas proposições simples distintas aparecem na fórmula. Esse número (n) determina o tamanho da tabela: 2ⁿ linhas.

• 1 proposição → 2 linhas
• 2 proposições → 4 linhas
• 3 proposições → 8 linhas
• 4 proposições → 16 linhas
• 5 proposições → 32 linhas (raro em prova)

Passo 2: padrão de preenchimento das colunas-base

Para garantir todas as combinações:

• A coluna mais à direita alterna a cada 1 linha: V, F, V, F, V, F, ...
• A penúltima alterna a cada 2 linhas: V, V, F, F, V, V, F, F, ...
• A antepenúltima alterna a cada 4 linhas: V, V, V, V, F, F, F, F, ...
• E assim por diante, dobrando o tamanho do bloco.

Passo 3: calcular subexpressões

Identifique as subfórmulas em ordem (das mais internas às mais externas) e crie uma coluna para cada subexpressão. Calcule passo a passo.

Passo 4: chegar à coluna final

A última coluna é a fórmula completa, calculada a partir das subexpressões. É essa coluna que determina se a fórmula é tautologia (tudo V), contradição (tudo F) ou contingência (mistura).

Dica do Fuffu

Faça uma coluna por subexpressão. Não tente calcular tudo de cabeça em uma única coluna. As colunas intermediárias são suas amigas: tornam o cálculo seguro e fácil de revisar.

Prof. Affonsinho explica, Módulo 03

Construir a tabela de F = ¬p ∨ (q ∧ ¬r)

Variáveis: p, q, r. Total: 3 proposições → 8 linhas.

Subexpressões: ¬p, ¬r, q ∧ ¬r, ¬p ∨ (q ∧ ¬r).

Coluna final F: F, V, F, F, V, V, V, V. Mistura de V e F. Logo, F é uma contingência.

Análise da coluna F

F é falsa em três linhas (1, 3, 4) e verdadeira em cinco (2, 5, 6, 7, 8). Para F ser falsa, precisamos que ¬p E (q ∧ ¬r) sejam ambos F. Isso acontece quando p é V e quando q ou r não satisfazem (q ∧ ¬r).

Bate-papo com o Seu Teoffilo

Tabela com 8 linhas exige paciência, mas é mecânica. Calcule subexpressão por subexpressão. Não pule passos. Em prova, gaste tempo desenhando bem a tabela; um erro num cálculo intermediário propaga para a coluna final.

Prof. Affonsinho explica, Módulo 03

Atalho 1: condicional só falha em V → F

Se a fórmula é p → q, basta verificar quando é F: caso V → F. Se a banca pergunta apenas se é tautologia, busque casos V → F. Se nenhum existe, é tautologia.

Atalho 2: bicondicional precisa de igualdade

p ↔ q é V quando p e q têm o MESMO valor. Logo, basta comparar: ambos V ou ambos F = V; valores diferentes = F.

Atalho 3: análise por valoração suposta

Em vez de fazer a tabela completa, suponha o resultado que quer (geralmente F) e verifique se há valoração consistente. Se conseguir, há linha com esse resultado. Se chegar a contradição, não há.

Exemplo: F = (p → q) → q. É tautologia?

1. Suponha F = F. Como é condicional, antecedente V e consequente F.
2. Antecedente (p → q) = V e consequente q = F.
3. Se q = F e (p → q) = V, então (V → F) seria F, contradizendo. Logo, p deve ser F. Então (F → F) = V. ✓
4. Existe valoração: p = F, q = F. Logo, F NÃO é tautologia.

Esse atalho economiza tempo em fórmulas com 4+ variáveis.

Atalho 4: simplificação por equivalência

Antes de fazer tabela, tente simplificar a fórmula via equivalências (De Morgan, condicional ≡ ¬p ∨ q etc.). Uma fórmula simplificada tem tabela menor.

Coach Jeff, macete

Para fórmula com 2 ou 3 variáveis: tabela completa. Para 4+ variáveis: tente atalho de valoração. Para descobrir tautologia: suponha falsa e veja se chega a contradição. Cada cenário, sua estratégia.

Prof. Affonsinho explica, Módulo 04

4 Tabela-verdade com 3 e 4 variáveis

Estrutura padrão de 3 variáveis (8 linhas)

Para variáveis p, q, r, monte assim:

Padrão: p alterna a cada 4 linhas (VVVV/FFFF), q a cada 2 (VV/FF), r a cada 1 (V/F).

Garante que cobre todas as combinações

Como cada variável tem 2 valores possíveis e há 3 variáveis independentes, são 2³ = 8 combinações. A tabela acima as enumera todas, sem repetição nem omissão.

Exemplo: F = (p → q) ∧ (q → r)

Vamos calcular:

Coluna final F: V, F, F, F, V, F, V, V. Contingência.

Dica do Fuffu

Padronize a ordem das colunas-base (p, q, r alternando como acima) em todas as suas tabelas. Quando você sempre faz da mesma forma, ganha velocidade e reduz risco de erro de combinação.

Prof. Affonsinho explica, Módulo 04

Estrutura de 4 variáveis (16 linhas)

Para p, q, r, s: p alterna a cada 8 linhas (VVVVVVVV/FFFFFFFF), q a cada 4 (VVVV/FFFF), r a cada 2 (VV/FF), s a cada 1 (V/F).

Exemplo do padrão (apenas as colunas-base):

Quando NÃO usar tabela completa

16 linhas é cansativo, e 32 linhas (5 variáveis) praticamente inviabiliza o método em prova. Em fórmulas com 4+ variáveis, prefira:

• Atalho por valoração suposta.
• Simplificação prévia via equivalências.
• Aplicação direta de regras de inferência (se for argumento, não fórmula isolada).

Bate-papo com o Seu Teoffilo

Em concurso, raramente cai fórmula com mais de 3 variáveis numa única questão. Quando cai com 4, geralmente o examinador quer testar se você usa atalhos. Se você for de tabela cega, perde tempo precioso. Treine a valoração suposta para esses casos.

Prof. Affonsinho explica, Módulo 04

Dicas de organização

1. Cabeçalhos claros: identifique cada coluna com o nome da subexpressão. Não use só "X" ou "Y".
2. Separação visual: use linhas verticais ou cores para separar subexpressões da coluna final.
3. Coluna por etapa: uma coluna por operação. Não combine duas operações em uma coluna só.
4. Verificação cruzada: ao final, releia 2-3 linhas para conferir cálculo.

Erros comuns a evitar

• Ordem errada das colunas-base: se p deveria alternar a cada 4 e você alterna a cada 2, todas as combinações ficam erradas.
• Esquecer subexpressão: pular um cálculo intermediário leva a erro propagado.
• Confundir valor da negação: ¬V = F e ¬F = V. Erro bobo, mas frequente sob pressão.
• Trocar conjunção por disjunção: ∧ exige ambos V; ∨ exige pelo menos um V.
• Errar o condicional: F → qualquer = V (esse é o ponto mais contraintuitivo).

Treino recomendado

Faça 10 tabelas-verdade por dia durante uma semana. Comece com 2 variáveis, suba para 3, depois 4. No fim da semana, você fará tabelas em automático. É um dos investimentos de melhor retorno em RLM.

O Raffinha já passou por isso

No início, a tabela-verdade parece morosa. Depois de 50 tabelas treinadas, o cálculo vira automatismo. É como tabuada: dá trabalho aprender, mas depois economiza tempo o resto da vida (no caso, o resto do concurso).

Prof. Affonsinho explica, Módulo 05

5 Equivalência por tabela-verdade

O critério de equivalência

Duas fórmulas são logicamente EQUIVALENTES (≡) quando suas tabelas-verdade têm a mesma coluna final, em todas as linhas. Independente de quais valores p, q, r assumem, ambas dão o mesmo resultado.

Procedimento

1. Liste as variáveis envolvidas em ambas as fórmulas.
2. Construa uma única tabela com 2ⁿ linhas (n = total de variáveis distintas).
3. Calcule a coluna final de cada fórmula.
4. Compare linha a linha. Se coincidem em todas, equivalentes. Se discordam em ao menos uma, não equivalentes.

Exemplo: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q?

Variáveis: p, q. Total: 2² = 4 linhas.

Coluna ¬(p ∧ q): F, V, V, V. Coluna ¬p ∨ ¬q: F, V, V, V. Coincidem em todas as linhas. Logo, EQUIVALENTES. (Esta é a primeira lei de De Morgan.)

Bate-papo com o Seu Teoffilo

Esse método é absolutamente confiável. Se você quer provar uma equivalência, basta fazer a tabela. Não precisa de manipulação algébrica nem lembrar de identidades. A tabela é juiz imparcial, sempre.

Prof. Affonsinho explica, Módulo 05

Verificar: p → q ≡ ¬p ∨ q?

Coluna p → q: V, F, V, V. Coluna ¬p ∨ q: V, F, V, V. Coincidem. Equivalentes. (Equivalência fundamental do condicional.)

Verificar: p → q ≡ q → p?

Coluna p → q: V, F, V, V. Coluna q → p: V, V, F, V. Discordam nas linhas 2 e 3. NÃO equivalentes. A recíproca não vale como equivalência do condicional.

Verificar: p → q ≡ ¬q → ¬p?

Coluna p → q: V, F, V, V. Coluna ¬q → ¬p: V, F, V, V. Coincidem. Equivalentes. (Esta é a famosa contrapositiva.)

Cuidado com a Promotora Implacável

A Promotora vai dizer: "Se p → q é equivalente a ¬q → ¬p, então também é equivalente a q → p, certo?" ERRADO. A contrapositiva (¬q → ¬p) é equivalente, mas a recíproca (q → p) NÃO é. A questão acima provou via tabela: a recíproca discorda em duas linhas. Decora a diferença.

Prof. Affonsinho explica, Módulo 05

Quando duas fórmulas têm variáveis diferentes

Se a primeira fórmula usa p, q e a segunda usa r, s, são fórmulas DIFERENTES (variáveis distintas). Para comparar, precisariam usar as mesmas variáveis. Em prova, a banca raramente faz isso.

Quando há variáveis em comum + variáveis exclusivas

Suponha F₁ = p → q e F₂ = (p ∧ r) → q. Variáveis envolvidas: p, q, r. A tabela tem 8 linhas.

• Linha 5: p = F, q = V, r = V. F₁ = (F → V) = V. F₂ = ((F ∧ V) → V) = (F → V) = V. ✓
• Linha 6: p = F, q = V, r = F. F₁ = V. F₂ = ((F ∧ F) → V) = V. ✓
• Linha 3: p = V, q = F, r = V. F₁ = F. F₂ = ((V ∧ V) → F) = F. ✓
• Linha 4: p = V, q = F, r = F. F₁ = F. F₂ = ((V ∧ F) → F) = (F → F) = V. ✗

Discordam na linha 4. NÃO equivalentes.

Atalho: equivalência sem tabela

Antes de fazer tabela, tente reescrever uma das fórmulas usando equivalências conhecidas. Se chegar à outra, são equivalentes.

Exemplo: ¬(p → q) ≡ ?

1. p → q ≡ ¬p ∨ q.
2. ¬(p → q) ≡ ¬(¬p ∨ q).
3. De Morgan: ≡ ¬¬p ∧ ¬q ≡ p ∧ ¬q.

Logo, ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q. Sem tabela, com manipulação algébrica.

Coach Jeff, macete

Quando a banca pergunta equivalência, tente DOIS caminhos: tabela e manipulação algébrica. Se o tempo aperta, vá pelo mais rápido. Manipulação algébrica é mais rápida quando você domina De Morgan e equivalência do condicional. Tabela é mais segura quando você não tem certeza.

Prof. Affonsinho explica, Módulo 06

6 Diagramas lógicos: introdução

O que são

Diagramas lógicos são representações visuais de conjuntos e relações entre eles. Os mais usados em RLM são os diagramas de Venn (proposicionais ou de conjuntos) e de Euler.

Convenções básicas

• Círculo: representa um conjunto.
• Sobreposição: indica intersecção (elementos em ambos).
• Retângulo externo: universo de discurso (todos os elementos relevantes).
• Hachura ou risco: região VAZIA (não há elemento ali).
• X: existe pelo menos um elemento ali.
• Sem marca: ausência de informação (pode haver ou não).

Aplicações principais

1. Validar silogismos categóricos: três círculos para os três termos.
2. Resolver problemas de contagem: dois ou três conjuntos com elementos sobrepostos.
3. Visualizar relações entre proposições: equivalências, implicações, contradições.

Diagrama de Venn × diagrama de Euler

Venn mostra todas as intersecções possíveis (mesmo as vazias). Euler mostra apenas as intersecções não-vazias. Em RLM, usa-se principalmente Venn.

Dica do Fuffu

Diagramas de Venn são uma ferramenta visual poderosa. Em prova, sempre que surgir "todos, alguns, nenhum" ou problemas de contagem em conjuntos, desenhe os círculos no rascunho. Vai economizar muito tempo.

Prof. Affonsinho explica, Módulo 06

As quatro proposições categóricas

Para conjuntos S e P:

Importante: hachura × X

São DIFERENTES:

• Hachura = afirmação NEGATIVA. "Não há nada aqui."
• X = afirmação POSITIVA. "Existe pelo menos um aqui."

Universal afirmativa (A) e universal negativa (E) usam HACHURAS, porque tratam de "todos" (afirmação universal sobre todos os elementos).

Particular afirmativa (I) e particular negativa (O) usam X, porque tratam de "alguns" (existência).

Distribuição dos termos

Um termo está "distribuído" quando a proposição diz algo sobre TODOS os seus elementos. Tabela:

Bate-papo com o Seu Teoffilo

A distribuição dos termos é o conceito-chave para validar silogismos. As regras clássicas exigem: o termo médio precisa estar distribuído em pelo menos uma premissa, e os termos da conclusão não podem ter mais distribuição do que nas premissas. Essa é regra de ouro.

Prof. Affonsinho explica, Módulo 06

O quadrado das oposições

Aristóteles organizou as relações entre A, E, I, O num esquema chamado "quadrado das oposições":

   A (todo S é P)  ←contrárias→  E (nenhum S é P)
       ↕                              ↕
   subalterna                     subalterna
       ↕                              ↕
   I (algum S é P) ←subcontrárias→ O (algum S não é P)

    A ↔ O (contraditórias, valores opostos)
    E ↔ I (contraditórias, valores opostos)
    

Tipos de oposição

• Contraditórias (A↔O e E↔I): não podem ter o mesmo valor verdade. Se uma é V, a outra é F.
• Contrárias (A↔E): não podem ser ambas verdadeiras, mas podem ser ambas falsas.
• Subcontrárias (I↔O): não podem ser ambas falsas, mas podem ser ambas verdadeiras.
• Subalternas (A→I e E→O): se a universal é V, a particular correspondente também é V (na lógica clássica com importação existencial).

Aplicação prática

Negar "Todo S é P" (A) dá "Algum S não é P" (O). É a relação contraditória A ↔ O. Negar "Nenhum S é P" (E) dá "Algum S é P" (I). É a relação contraditória E ↔ I.

Esse é o caminho mais rápido para negar quantificadores em prova: A vira O e vice-versa; E vira I e vice-versa.

Dica do Fuffu

O quadrado das oposições explica por que a negação de "todo" é "algum não" (não é "nenhum"). É exatamente a relação contraditória A ↔ O. Decorou o quadrado, dominou negação de quantificador para sempre.

Prof. Affonsinho explica, Módulo 07

7 Diagramas em silogismos categóricos

Procedimento

Para validar um silogismo categórico de três termos via diagrama de Venn:

1. Desenhe três círculos sobrepostos, rotulados com S (sujeito), P (predicado) e M (médio).
2. Marque a primeira premissa (hachura para universais, X para particulares).
3. Marque a segunda premissa.
4. Verifique se a conclusão JÁ está representada pelo que foi marcado.
5. Se sim, válido. Se não, inválido.

Exemplo: silogismo Barbara

P₁: Todo M é P. (Hachure tudo de M fora de P.)

P₂: Todo S é M. (Hachure tudo de S fora de M.)

Conclusão pretendida: Todo S é P.

Análise: depois das duas hachuras, a parte de S que está fora de M é vazia (P₂); a parte de M que está fora de P é vazia (P₁). Portanto, a parte de S que está fora de P precisa estar dentro de M, mas dentro de M está dentro de P. Logo, S está totalmente em P. Conclusão derivada. Válido.

Cuidado especial com universais e existenciais misturadas

Quando uma premissa é particular (X) e outra é universal (hachura), marque PRIMEIRO a universal e DEPOIS a particular. Isso evita marcar um X em região que será depois hachurada.

Alerta do Examinador

Marque sempre as universais antes das particulares. Se um X cair numa região que depois será hachurada, há contradição entre as premissas, e o silogismo é trivialmente inválido. Ordem: hachuras primeiro, X depois.

Prof. Affonsinho explica, Módulo 07

Silogismo Darii (1ª figura, AII)

P₁: Todo M é P. (Hachure M sem P.)

P₂: Algum S é M. (Marque X em S ∩ M.)

Conclusão: Algum S é P.

Análise: o X em S ∩ M está dentro de M. Como M ⊆ P (após P₁), o X está em S ∩ M ∩ P, ou seja, em S ∩ P. Logo, "algum S é P". Válido.

Silogismo inválido: Algum M é P + Algum S é M

P₁: Algum M é P. (X em M ∩ P.)

P₂: Algum S é M. (X em S ∩ M.)

Conclusão tentada: Algum S é P.

Análise: o X de P₁ está em M ∩ P, mas pode estar fora de S. O X de P₂ está em S ∩ M, mas pode estar fora de P. Os dois X podem ser pessoas DIFERENTES. Não há garantia de elementos em S ∩ P. Inválido.

Esse é a falha do "termo médio não distribuído". M não está universalmente tomado em nenhuma premissa.

Silogismo Celarent (1ª figura, EAE)

P₁: Nenhum M é P. (Hachure M ∩ P.)

P₂: Todo S é M. (Hachure S sem M.)

Conclusão: Nenhum S é P.

Análise: S está dentro de M (após P₂). M não tem intersecção com P (após P₁). Logo, S também não tem intersecção com P. Válido.

O Raffinha treina Venn

Treine os quatro silogismos clássicos da primeira figura: Barbara (AAA), Celarent (EAE), Darii (AII), Ferio (EIO). Cada um com seu padrão de hachuras e X. Depois, qualquer silogismo categórico de prova vira automatismo.

Prof. Affonsinho explica, Módulo 08

8 Diagramas em problemas de contagem

Diagramas de Venn são ferramentas muito úteis também para resolver problemas de contagem com sobreposição de conjuntos.

Princípio da inclusão-exclusão (dois conjuntos)

Para evitar contar duas vezes os elementos da intersecção, subtraímos uma vez.

Exemplo prático

Numa turma de 30 alunos, 20 estudam matemática, 18 estudam português, e 8 estudam ambas. Quantos não estudam nem uma nem outra?

Resolução:

• |M ∪ P| = 20 + 18 − 8 = 30. Espera, isso seria todos? Cuidado: |M ∪ P| = 20 + 18 − 8 = 30. Então todos os 30 estudam pelo menos uma. Nenhum aluno fica fora.

Refazendo com outros números: 20 matemática, 18 português, 8 ambas. |M ∪ P| = 20 + 18 − 8 = 30. Como a turma TEM 30 alunos, ninguém fica fora.

Se a turma tivesse 35 alunos: |M ∪ P| = 30 ainda. Logo, 35 − 30 = 5 alunos não estudam nem uma nem outra.

Princípio da inclusão-exclusão (três conjuntos)

Adicione singulares, subtraia pares de intersecção, some a tripla intersecção.

Bate-papo com o Seu Teoffilo

O princípio da inclusão-exclusão é uma das ferramentas mais elegantes da combinatória. Quando há sobreposição entre conjuntos, somar os tamanhos e dividir simplesmente conta duas vezes a intersecção. A correção é subtrair a intersecção. Para três conjuntos, é mais complexo, mas a lógica é a mesma.

Prof. Affonsinho explica, Módulo 08

Problema típico de prova

Numa pesquisa com 100 pessoas: 60 gostam de café, 50 gostam de chá, 30 gostam de ambos. Quantas pessoas não gostam nem de café nem de chá?

Resolução com diagrama

Desenhe dois círculos sobrepostos: C (café) e T (chá). Trabalhe DE DENTRO PARA FORA:

1. Intersecção C ∩ T: 30 pessoas.
2. Só café (C \ T): 60 − 30 = 30 pessoas.
3. Só chá (T \ C): 50 − 30 = 20 pessoas.
4. Total dentro dos círculos: 30 + 30 + 20 = 80 pessoas.
5. Fora dos círculos: 100 − 80 = 20 pessoas.

Resposta: 20 pessoas não gostam nem de café nem de chá.

Verificação por inclusão-exclusão

|C ∪ T| = |C| + |T| − |C ∩ T| = 60 + 50 − 30 = 80.

Universo − |C ∪ T| = 100 − 80 = 20. ✓

Quando usar diagrama × quando usar fórmula

Para 2 conjuntos: ambos funcionam, escolha o que for mais rápido.

Para 3 conjuntos: diagrama de Venn é mais visual e seguro; a fórmula com 7 termos é fácil de errar.

Para 4+ conjuntos: o diagrama vira complicado; use a fórmula com cuidado.

Coach Jeff, macete

Sempre comece pela INTERSECÇÃO (centro do diagrama), depois calcule "só A", "só B", e por fim o que está fora dos círculos. Trabalhar de dentro para fora evita erros de subtração. Treine essa ordem.

Prof. Affonsinho explica, Módulo 09

9 Aplicações em prova

Padrão CESPE

• Tabela-verdade dada, completar coluna: julgue se determinado valor está correto.
• Fórmula classificada como tautologia/contradição/contingência.
• Equivalência: julgue se F₁ ≡ F₂.
• Diagramas em silogismo: validar argumento.

Padrão FCC

• Construção completa de tabela: marcar a coluna final.
• Aplicação direta: dado p e q com valores, calcular fórmula.
• Problemas de contagem com Venn: 2 ou 3 conjuntos.

Padrão FGV

• Argumentos em texto longo: traduzir para forma simbólica e validar.
• Quadrado das oposições: identificar relação entre proposições categóricas.

Padrão VUNESP

• Tabelas-verdade com 2 ou 3 variáveis: cálculo direto.
• Equivalências do condicional: contrapositiva como favorita.
• Diagramas para silogismos clássicos.

O Raffinha resume

Para qualquer banca, três pilares: tabela-verdade até 3 variáveis (cálculo seguro), equivalências por tabela ou manipulação algébrica, e Venn para silogismos e contagem. Domine os três e você cobre 80% das questões deste tópico.

Mapa mental

Revisão relâmpago

Fuffu resume

Tabela-verdade é mecânica e segura. Diagrama de Venn é visual e poderoso. Domine os dois métodos e você responde tudo de proposições e silogismos sem hesitar.

10 questões comentadas

Dez questões no padrão CESPE/FCC/FGV/VUNESP, comentadas pelo Prof. Affonsinho. Cobrem todos os temas: proposições, tabelas-verdade, equivalências, diagramas e contagem com Venn. Resolva primeiro e depois confira o comentário.

Aviso do Examinador

Pegadinhas mais comuns: confundir sentença aberta com proposição, errar precedência sem parênteses, marcar silogismo inválido como válido por "fazer sentido", esquecer de subtrair intersecção em contagem, trocar contrapositiva por inversa.

Estratégia

Tabela-verdade até 3 variáveis: faça completa. Para 4+ variáveis: valoração suposta. Em silogismo: três círculos, hachuras antes de X. Em contagem: comece pela intersecção.

Q1 Questão 01 · Comentada

Comentário do Prof. Affonsinho

Distinguir proposição de não-proposição

Esse é o ponto mais elementar do tema, mas a banca insiste porque candidatos relaxam. Decore os três tipos NÃO-proposição: pergunta, ordem/exclamação, sentença aberta. Adicione paradoxos. Qualquer sentença que se enquadre em uma dessas categorias está fora.

Q2 Questão 02 · Comentada

Comentário do Prof. Affonsinho

Cálculo direto na tabela

Para qualquer fórmula, conte primeiro as variáveis e depois calcule a linha pedida. Aqui só duas variáveis e linha conhecida (V, V). Aplique conectivos um a um, do mais interno ao mais externo. F = V → F = F é o único caso F do condicional.

Q3 Questão 03 · Comentada

Comentário do Prof. Affonsinho

Três equivalências, uma armadilha

Para o condicional, três formas equivalentes: ¬p ∨ q (forma disjuntiva), ¬q → ¬p (contrapositiva), e ¬(p ∧ ¬q) (negação da única configuração F). A recíproca q → p NÃO é equivalente; muitos candidatos confundem com a contrapositiva.

Q4 Questão 04 · Comentada

Comentário do Prof. Affonsinho

Conjunção de tautologias é tautologia

Quando você reconhece subfórmulas tautológicas, não precisa fazer a tabela inteira. p ∨ ¬p é tautologia clássica (terceiro excluído). q → q é tautologia trivial. A conjunção de duas tautologias é tautologia (V ∧ V = V sempre).

Q5 Questão 05 · Comentada

Comentário do Prof. Affonsinho

Negar universal afirmativa

Pelo quadrado das oposições, A ↔ O são contraditórias. A negação de 'todo S é P' (A) é 'algum S não é P' (O). Decore essa relação: a negação inverte o quantificador (todo → algum) E o predicado (P → não P). É a regra de ouro de quantificadores em prova.

Q6 Questão 06 · Comentada

Comentário do Prof. Affonsinho

Aplicação direta de valores

Quando a banca dá os valores de cada variável, o problema vira aritmética: aplique conectivos em ordem. Comece pelas subfórmulas mais internas (negação, conjunções/disjunções pequenas) e suba até a coluna final. V → F = F é o caso clássico que torna o condicional falso.

Q7 Questão 07 · Comentada

Comentário do Prof. Affonsinho

Inclusão-exclusão na prática

Esse é o problema clássico de contagem com Venn. Sempre comece pela intersecção, calcule cada região exclusiva, some o total dentro dos círculos, e subtraia do universo. Na fórmula direta: |A| + |B| - |A ∩ B| dá quem gosta de pelo menos um. Subtraído do universo, dá quem não gosta de nenhum.

Q8 Questão 08 · Comentada

Comentário do Prof. Affonsinho

Bicondicional de equivalentes é tautologia

Quando você reconhece que os dois lados de um bicondicional são logicamente equivalentes, sabe que F é tautologia sem fazer tabela. Aqui, o lado direito é a contrapositiva do esquerdo. Como condicional e contrapositiva são equivalentes, F é tautologia. Atalho elegante e eficiente.

Q9 Questão 09 · Comentada

Comentário do Prof. Affonsinho

Darii em diagrama

Darii é silogismo da primeira figura, modo AII (universal afirmativa + particular afirmativa). O termo médio (médico) está distribuído na P₁ (sujeito de 'todo médico'). Como há uma particular afirmativa (P₂), a conclusão é particular afirmativa. Estrutura válida e clássica.

Q10 Questão 10 · Comentada

Comentário do Prof. Affonsinho

Negação do condicional, mais uma vez

Esta equivalência é cobrada em quase toda prova. Decora: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q. A negação do condicional é uma CONJUNÇÃO (não outro condicional). É exatamente o caso V → F que torna o condicional falso. Saber essa equivalência abre muitas questões em segundos.