Sumário

Nove módulos sobre análise combinatória e probabilidade. O último e mais difícil tópico da disciplina (difficulty 6). Pegadinhas e armadilhas em cada conceito. Mas a recompensa é ter Raciocínio Lógico inteiro dominado.

1. Princípio fundamental da contagem

   Multiplicação de possibilidades
   p. 04
2. Fatorial

   n!, propriedades, simplificações
   p. 06
3. Permutação

   Simples e com repetição
   p. 09
4. Arranjo

   Quando a ordem importa
   p. 12
5. Combinação

   Quando a ordem NÃO importa
   p. 15
6. Probabilidade clássica

   Casos favoráveis / casos possíveis
   p. 18
7. Eventos: união, intersecção, complementar

   P(A∪B), P(A∩B), P(Aᶜ)
   p. 21
8. Probabilidade condicional

   P(A|B), independência, Bayes
   p. 24
9. Como cai em prova

   Padrões CESPE, FCC, FGV, VUNESP
   p. 27
10. Mapa mental e revisão

    A aula inteira em duas páginas
    p. 29
11. 10 questões comentadas

    Comentadas pelo Affonsinho
    p. 31

Meta desta aula

Distinguir permutação, arranjo e combinação. Aplicar fórmulas corretas conforme a ordem importa ou não. Calcular probabilidades clássica e condicional. Usar fatorial sem hesitar.

O que você vai aprender

O Fuffu prepara o terreno

Última aula da disciplina. Conta-cheia, fórmula nova a cada módulo, mas a lógica é simples: a ORDEM importa? Sim = arranjo (ou permutação). Não = combinação. Probabilidade é razão entre o que você quer e o que pode acontecer.

Prof. Affonsinho explica, Módulo 01

1 Princípio fundamental da contagem

Enunciado

Generaliza para mais etapas: se há k etapas independentes, com n₁, n₂, ..., nₖ opções cada, o total é n₁ × n₂ × ... × nₖ.

Exemplo 1: cardápio

Restaurante oferece 4 entradas, 5 pratos principais e 3 sobremesas. Quantas refeições completas distintas são possíveis?

Total = 4 × 5 × 3 = 60 refeições.

Exemplo 2: senhas

Quantas senhas de 4 dígitos podem ser formadas com algarismos de 0 a 9, com repetição permitida?

10 opções por dígito × 4 dígitos = 10⁴ = 10.000 senhas.

Exemplo 3: placas

Placa antiga de carro: 3 letras + 4 números. 26 letras possíveis (com repetição) × 10 algarismos. Total = 26³ × 10⁴ = 17.576 × 10.000 = 175.760.000 placas.

Quando NÃO usar princípio direto

O princípio fundamental funciona quando as etapas são INDEPENDENTES. Se há restrição (não pode repetir, não pode usar X em determinada posição), o cálculo precisa ajustar etapa por etapa.

Exemplo: senha de 4 dígitos SEM repetição = 10 × 9 × 8 × 7 = 5.040 (cada etapa diminui).

Dica do Fuffu

Em prova, sempre identifique: as etapas são independentes? Há repetição? Há ordem? Essas três perguntas separam princípio fundamental, arranjo, permutação e combinação. Sem isso, você usa fórmula errada.

Prof. Affonsinho explica, Módulo 02

2 Fatorial (n!)

Definição

Valores

• 0! = 1.
• 1! = 1.
• 2! = 2.
• 3! = 6.
• 4! = 24.
• 5! = 120.
• 6! = 720.
• 7! = 5.040.
• 8! = 40.320.
• 9! = 362.880.
• 10! = 3.628.800.

Cresce muito rápido. Para n grande, evite calcular o fatorial inteiro; use simplificações.

Propriedades úteis

• Recursão: n! = n × (n-1)!.
• Simplificação de razões: 10! / 8! = 10 × 9 = 90 (não calcule 10! e 8! separados; cancele).
• Cálculo eficiente: para encontrar A(10, 3) = 10! / 7! = 10 × 9 × 8 = 720 (multiplique apenas os termos necessários).

Cuidado com 0!

0! = 1 por convenção. Tem motivos matemáticos (mantém consistência das fórmulas), mas em prova é regra: 0! = 1.

Bate-papo com o Seu Teoffilo

O fatorial cresce mais rápido que qualquer função polinomial. 20! já tem 19 dígitos. 100! tem mais de 150 dígitos. Em problemas de contagem, fatoriais grandes geralmente se simplificam: cancele numerador e denominador antes de multiplicar.

Prof. Affonsinho explica, Módulo 02

Simplificação 1: razão de fatoriais

10! / 7! = (10 × 9 × 8 × 7!) / 7! = 10 × 9 × 8 = 720.

Cancele o 7! do numerador com o 7! do denominador. Sobra apenas a parte "extra" do numerador.

Simplificação 2: divisão por fatorial menor

9! / (3! × 6!) = (9 × 8 × 7 × 6!) / (3! × 6!) = (9 × 8 × 7) / (3 × 2 × 1) = 504 / 6 = 84.

Simplificação 3: equação com fatorial

"Se (n+1)! / n! = 8, encontre n."

(n+1)! / n! = (n+1) · n! / n! = n+1. Logo, n+1 = 8, n = 7.

Simplificação 4: combinação direta

C(10, 2) = 10! / [2! × 8!] = (10 × 9) / (2 × 1) = 90 / 2 = 45.

Sempre cancele o maior fatorial do denominador com a parte equivalente do numerador.

Macete de cálculo

Para C(n, k) ou A(n, k):

1. Identifique o fatorial menor no denominador.
2. Cancele com a parte equivalente do numerador.
3. Multiplique apenas os termos restantes.

Isso evita lidar com números enormes.

Coach Jeff, macete

NUNCA calcule fatoriais grandes inteiros em prova. Sempre cancele primeiro, multiplique depois. Para C(20, 18), por exemplo: simplifique para (20 × 19) / (2 × 1) = 190. É muito mais rápido que calcular 20!, 18! e 2! separadamente.

Prof. Affonsinho explica, Módulo 03

3 Permutação

Permutação simples

Permutação simples conta o número de maneiras de ORDENAR n elementos distintos em n posições.

Exemplo: de quantas maneiras 5 pessoas podem se sentar em 5 cadeiras em fila?

P₅ = 5! = 120 maneiras.

Permutação com repetição

Quando há elementos repetidos, dividimos pelo fatorial das repetições.

Onde k₁, k₂, ..., kᵣ são as quantidades de cada elemento repetido.

Exemplo: anagramas da palavra "BANANA" (6 letras: B, A, N, A, N, A). A se repete 3 vezes, N se repete 2 vezes.

P(6; 3, 2) = 6! / (3! × 2!) = 720 / 12 = 60 anagramas.

Permutação circular

Quando os elementos são dispostos em CÍRCULO (não em fila), o número é (n-1)!. Isso porque podemos "fixar" um elemento e permutar os outros n-1.

Exemplo: 5 pessoas sentadas em mesa redonda. Pₙ⁽ᶜⁱʳᶜ⁾ = (5-1)! = 4! = 24 maneiras.

Dica do Fuffu

Permutação ordena TODOS os elementos. Se você quer ordenar apenas k de n, é arranjo, não permutação. Permutação é o caso especial em que você usa todos.

Prof. Affonsinho explica, Módulo 03

Exemplo 1: anagramas de palavras simples

"PAULO" tem 5 letras distintas. Anagramas: 5! = 120.

Exemplo 2: anagramas com repetição

"OVO" tem 3 letras (O, V, O). O se repete 2 vezes. Anagramas: 3! / 2! = 3.

Confere: OVO, VOO, OOV. Três anagramas. ✓

Exemplo 3: pessoas em fila

10 pessoas em fila: 10! = 3.628.800 maneiras.

Exemplo 4: pessoas em mesa redonda

10 pessoas em mesa redonda: (10-1)! = 9! = 362.880 maneiras.

Exemplo 5: anagramas com restrição

Quantos anagramas de "MARIA" começam com M?

Fixe M na primeira posição. Resta permutar A, R, I, A nas 4 posições restantes (A se repete 2 vezes): 4! / 2! = 12 anagramas.

Exemplo 6: agrupamento

Quantos anagramas de "AMOR" têm vogais juntas (A e O)?

Trate AO como bloco. Bloco + M + R = 3 elementos: 3! = 6 maneiras. Internamente, AO pode ser AO ou OA: 2! = 2. Total: 3! × 2! = 12.

Bate-papo com o Seu Teoffilo

O macete de "tratar como bloco" funciona quando o enunciado pede que certos elementos fiquem juntos. Tratamos o grupo como um único elemento, permutamos com os demais, depois multiplicamos pelas permutações internas do bloco. Técnica útil para muitas questões de prova.

Prof. Affonsinho explica, Módulo 04

4 Arranjo

Definição

Arranjo é o número de maneiras de ESCOLHER e ORDENAR k elementos a partir de n disponíveis. A ordem importa.

Outras notações: Aₙ,ₖ ou A(n, k) ou ₙPₖ.

Exemplo 1: pódio

Quantos pódios diferentes (1º, 2º, 3º lugar) podem ser formados em uma corrida com 10 atletas?

A(10, 3) = 10! / 7! = 10 × 9 × 8 = 720 pódios.

Exemplo 2: senhas sem repetição

Senhas de 4 dígitos com algarismos de 0 a 9, sem repetição.

A(10, 4) = 10! / 6! = 10 × 9 × 8 × 7 = 5.040 senhas.

Comparação com princípio fundamental

Arranjo é, na essência, princípio fundamental aplicado quando há restrição de "sem repetição".

Para escolher e ordenar k elementos de n: primeira posição = n opções; segunda = n-1; terceira = n-2; ...; k-ésima = n-k+1.

Total = n × (n-1) × (n-2) × ... × (n-k+1) = n! / (n-k)!.

Permutação como caso especial

Quando k = n, A(n, n) = n! / 0! = n!. Ou seja, permutação é o caso especial do arranjo onde escolhemos TODOS os elementos.

Coach Jeff, macete

Para identificar arranjo: 1) há escolha (escolho k de n)? 2) a ordem importa? Se sim para os dois, é arranjo. Se a ordem NÃO importar, é combinação. Esse teste duplo é o filtro mais importante.

Prof. Affonsinho explica, Módulo 04

Exemplo 1: equipe diretiva

De 12 pessoas, escolher Presidente, Vice e Tesoureiro (cargos diferentes).

A(12, 3) = 12 × 11 × 10 = 1.320 maneiras.

Note que a ordem importa porque cada posição é um cargo distinto.

Exemplo 2: prêmios

10 alunos concorrem a 4 prêmios distintos (1º a 4º). Quantos resultados possíveis?

A(10, 4) = 10 × 9 × 8 × 7 = 5.040 resultados.

Exemplo 3: número formado por algarismos

Quantos números de 3 algarismos distintos podem ser formados com 1, 2, 3, 4, 5?

A(5, 3) = 5 × 4 × 3 = 60 números.

Exemplo 4: arranjos com restrição

Quantos arranjos de 3 letras de "AMOR" começam com vogal?

Vogais em AMOR: A e O (2 vogais). Posição inicial: 2 opções. Depois, escolher 2 das 3 letras restantes em ordem: A(3, 2) = 6. Total: 2 × 6 = 12.

Cuidado: arranjo × princípio fundamental

Se há repetição permitida, use princípio fundamental (multiplicação simples). Se NÃO há repetição, use arranjo. Em problemas de placas, senhas, números, sempre confira a permissão de repetição no enunciado.

Bate-papo com o Seu Teoffilo

Arranjo e princípio fundamental são parentes próximos. A diferença: arranjo é a versão sistematizada quando NÃO há repetição. Princípio fundamental é mais geral, e funciona com ou sem repetição (é o senso comum da contagem).

Prof. Affonsinho explica, Módulo 05

5 Combinação

Definição

Combinação é o número de maneiras de ESCOLHER k elementos a partir de n disponíveis, sem importar a ORDEM.

Outras notações: Cₙ,ₖ ou C(n, k) ou (n choose k) ou (n acima de k).

Também é chamada de "coeficiente binomial".

Exemplo 1: comissão

Escolher 3 pessoas de um grupo de 10 para uma comissão (sem cargos).

C(10, 3) = 10! / (3! · 7!) = (10 × 9 × 8) / (3 × 2 × 1) = 720 / 6 = 120.

Exemplo 2: lotofácil

Quantas combinações de 6 números existem em uma cartela de 20 números?

C(20, 6) = 20! / (6! · 14!) = (20 × 19 × 18 × 17 × 16 × 15) / 720 = 38.760.

Combinação × Arranjo

Diferença essencial: arranjo importa ordem; combinação NÃO importa ordem.

• Pódio: arranjo (1º, 2º, 3º são posições distintas).
• Comissão: combinação (todos têm o mesmo "papel").
• Senha: arranjo (123 é diferente de 321).
• Subconjunto: combinação (a ordem dos elementos não importa).

Relação A(n,k) e C(n,k)

A(n, k) = C(n, k) × k!. O arranjo é a combinação multiplicada pelo fatorial de k (que conta as ordens possíveis dos k elementos escolhidos).

O Raffinha treina o filtro

Em prova, sempre faça-se a pergunta: 'a ordem importa?' Se sim, é arranjo. Se não, é combinação. Essa é a única pergunta que separa as duas fórmulas. Decora isso, marca o gabarito direito.

Prof. Affonsinho explica, Módulo 05

Exemplo 1: equipes

De 8 jogadores, formar uma equipe de 5.

C(8, 5) = 8! / (5! · 3!) = (8 × 7 × 6) / (3 × 2 × 1) = 56.

Exemplo 2: cartas

Quantas mãos de 5 cartas podem ser formadas com um baralho de 52 cartas?

C(52, 5) = 52! / (5! · 47!) = 2.598.960. (Não importa a ordem das cartas na mão.)

Exemplo 3: comissão com restrição

De 6 homens e 4 mulheres, formar comissão de 3 pessoas com pelo menos 1 mulher.

Total de comissões com 3 de 10 = C(10, 3) = 120.

Comissões só com homens = C(6, 3) = 20.

Comissões com pelo menos 1 mulher = 120 - 20 = 100.

Exemplo 4: coeficiente binomial

C(n, 0) = 1 (nenhuma escolha).

C(n, n) = 1 (escolher todos é uma única maneira).

C(n, 1) = n (escolher 1 entre n).

C(n, k) = C(n, n-k) (simetria, escolher k a incluir é o mesmo que escolher n-k a excluir).

Truque: complementar

Em problemas com "pelo menos um X", calcule o COMPLEMENTAR (sem X) e subtraia do total. É geralmente mais simples.

Cuidado com o Concurseiro Rival

O Concurseiro Rival vai dizer: "Pelo menos uma mulher = somar comissões com 1, 2 e 3 mulheres". Funciona, mas é trabalhoso e propenso a erro. Atalho: total - sem nenhuma mulher = pelo menos uma. Sempre prefira o complementar quando há "pelo menos" no enunciado.

Prof. Affonsinho explica, Módulo 06

6 Probabilidade clássica

Definição

Vale quando todos os casos possíveis são EQUIPROVÁVEIS (têm a mesma chance).

Exemplos

Exemplo 1: dado. P(sair 6) = 1/6 (1 caso favorável de 6 possíveis).

Exemplo 2: moeda. P(cara) = 1/2.

Exemplo 3: cartas. P(rei) em baralho de 52 = 4/52 = 1/13.

Exemplo 4: dados (par). P(par no dado) = 3/6 = 1/2 (favoráveis: 2, 4, 6).

Propriedades

• 0 ≤ P(A) ≤ 1.
• P(evento certo) = 1.
• P(evento impossível) = 0.
• P(Aᶜ) = 1 - P(A) (complementar).

Expressão em percentual

Probabilidade pode ser expressa como fração, decimal ou percentual.

P(rei) = 4/52 = 0,0769 = 7,69% aproximadamente.

Probabilidade NÃO clássica

Quando os casos NÃO são equiprováveis (dado viciado, moeda desbalanceada), a probabilidade é estimada por frequência relativa: P(A) = nº de vezes que A ocorreu / nº total de tentativas.

Em concurso, geralmente trabalha-se com probabilidade clássica (casos equiprováveis).

Dica do Fuffu

Probabilidade clássica é simples: conte o que você quer, divida pelo total. Mas o cálculo de "o que você quer" e "do total" pode envolver combinatória (combinação, arranjo, permutação). Identifique primeiro qual é o conjunto possível.

Prof. Affonsinho explica, Módulo 06

Exemplo 1: lotofácil simplificada

Cartela com 10 números. Sorteia-se 4. Qual a probabilidade de acertar todos os 4?

Total de combinações de 4 em 10 = C(10, 4) = 210.

Casos favoráveis = 1 (a sequência sorteada).

P(acertar 4) = 1/210 ≈ 0,48%.

Exemplo 2: cartas pretas

Em baralho de 52 cartas, qual a probabilidade de tirar 2 cartas pretas (sem reposição)?

26 cartas pretas no total. Total de combinações de 2 cartas em 52 = C(52, 2) = 1326.

Combinações de 2 cartas pretas = C(26, 2) = 325.

P = 325 / 1326 ≈ 24,5%.

Exemplo 3: pelo menos uma mulher

De 6 homens e 4 mulheres, sortear 3. Probabilidade de pelo menos 1 mulher?

Total = C(10, 3) = 120.

Sem nenhuma mulher = C(6, 3) = 20.

Pelo menos 1 mulher = 120 − 20 = 100.

P = 100/120 = 5/6 ≈ 83,3%.

Exemplo 4: dois dados

Lança-se dois dados. Probabilidade de a soma ser 7?

Casos possíveis = 6 × 6 = 36.

Casos favoráveis (soma 7): (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) = 6.

P = 6/36 = 1/6 ≈ 16,7%.

Bate-papo com o Seu Teoffilo

Probabilidade combina contagem e probabilidade. Você precisa contar os casos favoráveis (geralmente combinação ou arranjo) e os casos totais. A razão é a probabilidade. O grande erro é confundir o tipo de contagem (com ou sem ordem, com ou sem repetição).

Prof. Affonsinho explica, Módulo 07

7 Eventos: união, intersecção, complementar

União: P(A ∪ B)

É a probabilidade de A OU B ocorrer. Subtraímos a intersecção para não contar duas vezes.

Intersecção: P(A ∩ B)

É a probabilidade de AMBOS A e B ocorrerem.

Se A e B são INDEPENDENTES: P(A ∩ B) = P(A) × P(B).

Se A e B são DEPENDENTES: P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A) (probabilidade condicional, próximo módulo).

Eventos mutuamente exclusivos

Se A e B NÃO podem ocorrer juntos (mutuamente exclusivos), P(A ∩ B) = 0. Logo, P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

Exemplo: P(tirar 2 ou 3 num dado) = P(2) + P(3) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3.

Complementar: P(Aᶜ)

P(Aᶜ) = 1 − P(A). A probabilidade de A NÃO ocorrer é 1 menos a probabilidade de A.

Exemplo: P(não tirar 6 num dado) = 1 − 1/6 = 5/6.

Eventos independentes

Dois eventos são INDEPENDENTES se a ocorrência de um não afeta a probabilidade do outro.

Exemplo: lançar dois dados. P(6 no primeiro) e P(6 no segundo) são independentes.

P(6 nos dois) = P(6 no primeiro) × P(6 no segundo) = 1/6 × 1/6 = 1/36.

Dica do Fuffu

Para eventos independentes, multiplique. Para união, some e subtraia a intersecção. Para complementar, faça 1 − P(A). Memorize as três fórmulas: união, intersecção, complementar. São o coração da probabilidade.

Prof. Affonsinho explica, Módulo 07

Exemplo 1: união

Numa turma, 60% dos alunos jogam futebol e 40% jogam basquete; 25% jogam ambos. Qual a probabilidade de um aluno jogar pelo menos um esporte?

P(F ∪ B) = P(F) + P(B) − P(F ∩ B) = 0,60 + 0,40 − 0,25 = 0,75 = 75%.

Exemplo 2: complementar

No exemplo acima, qual a probabilidade de um aluno NÃO jogar nenhum esporte?

P(nenhum) = 1 − P(F ∪ B) = 1 − 0,75 = 0,25 = 25%.

Exemplo 3: independência

Duas moedas honestas são lançadas. Probabilidade de saírem duas caras?

Eventos independentes. P(cara, cara) = 1/2 × 1/2 = 1/4 = 25%.

Exemplo 4: mutuamente exclusivos

Lança-se um dado. Probabilidade de tirar 1, 2 ou 3?

Eventos mutuamente exclusivos. P = P(1) + P(2) + P(3) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2 = 50%.

Exemplo 5: dependência

De um baralho, retira-se uma carta SEM reposição. Probabilidade de sair rei na primeira E rainha na segunda?

P(rei na 1ª) = 4/52. Após retirar rei, restam 51 cartas, 4 são rainhas. P(rainha na 2ª | rei na 1ª) = 4/51.

P(rei e depois rainha) = 4/52 × 4/51 = 16/2652 ≈ 0,6%.

Bate-papo com o Seu Teoffilo

Distinguir eventos independentes de dependentes é crucial. Independentes: a primeira ocorrência não muda a probabilidade da segunda (lançar dados). Dependentes: a primeira altera (retirar carta sem reposição). Em prova, identifique antes de calcular.

Prof. Affonsinho explica, Módulo 08

8 Probabilidade condicional

Definição

Lê-se: "probabilidade de A dado B". É a probabilidade de A ocorrer SABENDO que B já ocorreu.

Exemplo

Numa turma com 50 alunos, 30 estudam matemática (M) e 20 dos que estudam matemática também estudam física (M ∩ F). Qual a probabilidade de um aluno estudar física, sabendo que ele estuda matemática?

P(F | M) = P(F ∩ M) / P(M) = (20/50) / (30/50) = 20/30 = 2/3 ≈ 66,7%.

Independência via condicional

A e B são INDEPENDENTES se P(A | B) = P(A). Ou seja, saber que B ocorreu não altera a probabilidade de A.

Equivalente: P(A ∩ B) = P(A) × P(B).

Teorema de Bayes

Permite "inverter" a probabilidade condicional. Útil quando você sabe P(B | A) e quer P(A | B).

Exemplo de Bayes (clássico)

Um teste para uma doença tem sensibilidade 99% (positivo se doente) e especificidade 95% (negativo se saudável). A doença afeta 1% da população. Se uma pessoa testa positivo, qual a probabilidade de estar realmente doente?

P(D) = 0,01. P(¬D) = 0,99. P(+ | D) = 0,99. P(+ | ¬D) = 0,05.

P(+) = P(+|D)·P(D) + P(+|¬D)·P(¬D) = 0,99·0,01 + 0,05·0,99 = 0,0099 + 0,0495 = 0,0594.

P(D | +) = P(+|D) · P(D) / P(+) = 0,0099 / 0,0594 ≈ 16,7%.

Surpreendente: mesmo com teste muito acurado, a probabilidade de estar doente após positivo é só 16,7%. Conhecido como "paradoxo de Bayes".

Bate-papo com o Seu Teoffilo

O Teorema de Bayes é uma das ferramentas mais úteis e mais mal-entendidas da matemática. Deve seu nome a Thomas Bayes (séc. XVIII). Aplicação: medicina diagnóstica, machine learning, justiça, ciência. Em concurso de RLM, raramente cobra-se Bayes em sua plenitude, mas vale conhecer.

Prof. Affonsinho explica, Módulo 09

9 Como cai em prova

Padrão CESPE

• Princípio fundamental aplicado a placas, senhas, cardápios.
• Permutação simples ou com repetição (anagramas).
• Combinação para comissões.
• Probabilidade clássica com cálculo direto.

Padrão FCC

• Arranjo e combinação com cálculo de fórmula.
• Probabilidade da união e intersecção.
• Eventos independentes vs dependentes.

Padrão FGV

• Problemas longos com várias etapas.
• Combinações com restrições (pelo menos um, no máximo dois etc.).
• Probabilidade condicional e Bayes (raro mas possível).

Padrão VUNESP

• Permutação de palavras e anagramas.
• Cálculo direto de probabilidade clássica.
• Combinatória aplicada a jogos (cartas, dados).

O Raffinha resume

Em qualquer banca, três blocos resolvem 80% das questões: princípio fundamental + permutação, combinação, probabilidade clássica. Treine os três e você fecha a disciplina inteira de Raciocínio Lógico.

Mapa mental

Revisão relâmpago

Fuffu resume

Pergunta-chave: a ordem importa? Sim → arranjo. Não → combinação. Probabilidade é razão entre o que se quer e o que se pode. Disciplina de Raciocínio Lógico inteira finalizada.

10 questões comentadas

Dez questões finais da disciplina, comentadas pelo Prof. Affonsinho. Cobrem princípio fundamental, permutação, arranjo, combinação, probabilidade clássica, união e condicional. Use lápis e papel; cálculo combinatório exige rigor.

Aviso do Examinador

Pegadinhas mais comuns: confundir arranjo com combinação (esquecer se a ordem importa), errar permutação com repetição (não dividir pelos fatoriais), somar probabilidades de eventos não exclusivos sem subtrair intersecção, multiplicar probabilidades de eventos dependentes como se fossem independentes.

Estratégia

A pergunta-chave: a ordem importa? Sim → arranjo. Não → combinação. Em probabilidade: identifique casos favoráveis e possíveis. Para "pelo menos um", use complementar (1 - P(nenhum)). Em condicional, divida pela probabilidade do evento dado.

Q1 Questão 01 · Comentada

Comentário do Prof. Affonsinho

Princípio fundamental aplicado

Quando há repetição permitida, o cálculo é direto: opções por etapa multiplicadas. Aqui, 10 opções por dígito × 4 dígitos = 10⁴. Inclui senhas como 0000, 9999, 1234, etc. Se a banca disser SEM repetição, daria 10·9·8·7 = 5040 (alternativa A, distrator).

Q2 Questão 02 · Comentada

Comentário do Prof. Affonsinho

Permutação simples

Quando todas as letras são distintas, anagramas = n!. Aqui, 4! = 24. Se houvesse letras repetidas (como em ANA), dividiria pelo fatorial das repetições. Confira sempre se há repetição antes de aplicar a fórmula.

Q3 Questão 03 · Comentada

Comentário do Prof. Affonsinho

Permutação com repetição

Quando há letras repetidas, divida o fatorial total pelo fatorial de cada conjunto de repetições. Aqui: 6! / (3! · 2!) = 60. Se você esquece de dividir, dá 720 (alternativa D, distrator clássico). Confira sempre quantas vezes cada letra aparece.

Q4 Questão 04 · Comentada

Comentário do Prof. Affonsinho

Arranjo: ordem importa

Cargos distintos (Presidente ≠ Vice ≠ Tesoureiro) significam que a ORDEM da escolha importa. Aplique arranjo: A(8,3) = 8·7·6 = 336. Se fossem 3 cargos iguais (3 membros de comissão), seria combinação: C(8,3) = 56 (alternativa A, distrator).

Q5 Questão 05 · Comentada

Comentário do Prof. Affonsinho

Combinação: ordem não importa

Comissão = todos os membros têm o mesmo papel. Ordem irrelevante. Aplique combinação: C(10,4) = 210. Se fossem cargos diferentes, seria arranjo: A(10,4) = 5040 (alternativa D, distrator). A pergunta-chave sempre: a ordem importa?

Q6 Questão 06 · Comentada

Comentário do Prof. Affonsinho

Probabilidade clássica

Probabilidade clássica = casos favoráveis / casos possíveis. Aqui, 3 pares de 6 totais = 1/2. Cálculo direto. Em prova com dado honesto, sempre use casos equiprováveis.

Q7 Questão 07 · Comentada

Comentário do Prof. Affonsinho

Soma de dois dados

Em problemas de soma de dois dados, liste TODAS as combinações que dão a soma desejada. Cuidado: (2,6) e (6,2) são casos diferentes (pode-se distinguir os dados). Total de combinações sempre 36 (6×6). Decora: soma 7 tem 6 casos (mais provável), somas 2 e 12 têm 1 caso cada (menos prováveis).

Q8 Questão 08 · Comentada

Comentário do Prof. Affonsinho

Eventos dependentes

Sem reposição, os eventos são dependentes. Use probabilidade condicional ou combinação. Os dois métodos convergem para 5/14 (≈ 35,7%). Em prova, escolha o que for mais rápido para você. Cuidado para não confundir 5/14 com 10/28 (mesmo valor, mas alternativa B é forma não simplificada).

Q9 Questão 09 · Comentada

Comentário do Prof. Affonsinho

União de eventos

Para união de dois eventos: P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B). Subtrair a intersecção evita contar duas vezes os casos em que AMBOS ocorrem. Esquecer essa subtração é o erro mais comum em probabilidade da união.

Q10 Questão 10 · Comentada

Comentário do Prof. Affonsinho

Pelo menos um: use complementar

Em problemas com 'pelo menos um X', NUNCA some os casos diretamente (com 1, 2, 3, etc.). É trabalhoso e propenso a erro. Sempre use o complementar: P(pelo menos um) = 1 - P(nenhum). Aqui: 1 - P(só homens) = 1 - 1/6 = 5/6. Atalho elegante e seguro.