Sumário

Nove módulos que cobrem dois grandes temas: progressões (aritmética e geométrica) e matrizes (operações, determinantes, sistemas lineares). Difficulty 5: precisão técnica e cálculo cuidadoso.

1. Sequências numéricas

   Conceito, lei de formação, padrões
   p. 04
2. Progressão aritmética (PA)

   Razão, termo geral, soma dos termos
   p. 06
3. Progressão geométrica (PG)

   Razão, termo geral, soma finita e infinita
   p. 09
4. Matrizes: conceito e tipos

   Linha, coluna, quadrada, identidade, transposta
   p. 12
5. Operações com matrizes

   Soma, subtração, multiplicação por escalar
   p. 15
6. Multiplicação de matrizes

   Regra de produto, condição de compatibilidade
   p. 18
7. Determinantes

   2×2, 3×3, regra de Sarrus, propriedades
   p. 21
8. Sistemas lineares

   Resolução, regra de Cramer, classificação
   p. 24
9. Aplicações em prova

   Padrões CESPE, FCC, FGV, VUNESP
   p. 26
10. Mapa mental e revisão

    A aula inteira em duas páginas
    p. 28
11. 10 questões comentadas

    Padrão das bancas, comentadas pelo Affonsinho
    p. 30

Meta desta aula

Dominar progressões aritméticas e geométricas (termo geral e soma), saber operar com matrizes (soma, multiplicação), calcular determinantes 2×2 e 3×3, resolver sistemas lineares pequenos.

O que você vai aprender

O Fuffu prepara o terreno

Aula com muita conta. PA e PG têm fórmulas que você decora uma vez e usa para sempre. Matrizes parecem assustar, mas viram automatismo: soma elemento por elemento, multiplicação linha vezes coluna. Treine os passos básicos antes de tentar problemas complexos.

Prof. Affonsinho explica, Módulo 01

1 Sequências numéricas

Conceito

Sequência numérica é uma lista ordenada de números. Cada número é um TERMO, identificado por sua posição: a₁ (primeiro), a₂ (segundo), aₙ (n-ésimo).

Exemplos:

• (2, 4, 6, 8, 10): sequência dos pares positivos.
• (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13): sequência de Fibonacci.
• (1, 4, 9, 16, 25): quadrados perfeitos.

Lei de formação

É a regra que define o n-ésimo termo. Pode ser:

• Explícita: aₙ = f(n). Exemplo: aₙ = 2n (sequência dos pares).
• Recursiva: aₙ depende dos anteriores. Exemplo: aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₋₂ (Fibonacci).

Tipos especiais

• Crescente: aₙ < aₙ₊₁ para todo n.
• Decrescente: aₙ > aₙ₊₁.
• Constante: aₙ = c para todo n.
• Alternada: termos com sinais alternados.
• Periódica: padrão se repete a cada k termos.

Identificar padrão

Em prova, frequentemente é dada uma sequência inicial e pede-se o próximo termo, ou o n-ésimo. Estratégia:

1. Verifique se há diferença constante (PA).
2. Verifique se há razão constante (PG).
3. Verifique se há padrão entre os termos (Fibonacci, quadrados, cubos).
4. Tente encontrar fórmula que reproduza os termos dados.

Dica do Fuffu

Em sequências, sempre comece testando PA e PG. São os tipos mais comuns. Se não for nenhum dos dois, observe: as diferenças formam outra sequência? Os termos são quadrados? São números de Fibonacci? Geralmente o padrão é simples; basta procurar com método.

Prof. Affonsinho explica, Módulo 02

2 Progressão aritmética (PA)

Definição

PA é uma sequência em que cada termo é obtido somando uma constante ao termo anterior. Essa constante é a RAZÃO (r).

Exemplo: (3, 7, 11, 15, 19) é PA com a₁ = 3 e r = 4.

Conferir: 7 - 3 = 4; 11 - 7 = 4; 15 - 11 = 4; 19 - 15 = 4. ✓

Termo geral

Para encontrar o n-ésimo termo, soma-se ao primeiro a razão multiplicada por (n - 1).

Exemplo: na PA (3, 7, 11, 15, 19), qual o 10º termo? a₁₀ = 3 + (10 - 1) · 4 = 3 + 36 = 39.

Soma dos n primeiros termos

A soma dos n primeiros termos é a média entre o primeiro e o último, multiplicada por n.

Exemplo: soma dos 5 primeiros termos da PA (3, 7, 11, 15, 19): S₅ = (3 + 19) · 5 / 2 = 22 · 5 / 2 = 55.

Verificação direta: 3 + 7 + 11 + 15 + 19 = 55. ✓

Classificação por razão

• Crescente: r > 0.
• Decrescente: r < 0.
• Constante: r = 0.

Bate-papo com o Seu Teoffilo

A história conta que Gauss, com 7 anos, somou 1 + 2 + 3 + ... + 100 em poucos segundos: ele percebeu que (1 + 100) = 101, (2 + 99) = 101, e assim por diante. São 50 pares somando 101 cada, total 5.050. É exatamente a fórmula da soma da PA: (1 + 100) × 100 / 2 = 5.050.

Prof. Affonsinho explica, Módulo 02

Exemplo 1: encontrar termo

Numa PA, a₁ = 5 e r = 3. Qual o 20º termo?

a₂₀ = 5 + (20 - 1) · 3 = 5 + 57 = 62.

Exemplo 2: encontrar razão

Numa PA, a₁ = 4 e a₇ = 28. Qual a razão?

a₇ = a₁ + 6r → 28 = 4 + 6r → 6r = 24 → r = 4.

Exemplo 3: soma de PA

Some os 50 primeiros números pares positivos: (2, 4, 6, ..., 100).

É PA com a₁ = 2, r = 2, n = 50. Logo, a₅₀ = 2 + 49 × 2 = 100.

S₅₀ = (2 + 100) × 50 / 2 = 102 × 25 = 2.550.

Exemplo 4: soma alternativa quando se conhece a razão

Some os termos da PA (10, 13, 16, ..., 100).

Quantos termos? 100 = 10 + (n - 1) × 3 → n - 1 = 30 → n = 31.

S₃₁ = (10 + 100) × 31 / 2 = 110 × 31 / 2 = 1.705.

Truques úteis

• Termo médio: numa PA com número ímpar de termos, o termo do meio é a média entre o primeiro e o último.
• Termos equidistantes: numa PA, a soma de termos equidistantes do extremo é constante. a₁ + aₙ = a₂ + aₙ₋₁ = ...

Coach Jeff, macete

Para somar PA, sempre identifique a₁, aₙ e n. Aplique a fórmula. Se não souber n, use a fórmula do termo geral para isolar. Em prova, trabalhe com lápis e papel: PA é tema de cálculo, não de raciocínio abstrato.

Prof. Affonsinho explica, Módulo 03

3 Progressão geométrica (PG)

Definição

PG é uma sequência em que cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma constante. Essa constante é a RAZÃO (q).

Exemplo: (2, 6, 18, 54, 162) é PG com a₁ = 2 e q = 3.

Conferir: 6/2 = 3; 18/6 = 3; 54/18 = 3; 162/54 = 3. ✓

Termo geral

Para encontrar o n-ésimo termo, multiplica-se o primeiro pela razão elevada a (n - 1).

Exemplo: na PG (2, 6, 18, 54, 162), qual o 8º termo? a₈ = 2 · 3⁷ = 2 · 2187 = 4374.

Soma dos n primeiros termos (q ≠ 1)

Exemplo: soma dos 5 primeiros termos da PG (2, 6, 18, 54, 162):

S₅ = 2 · (3⁵ - 1) / (3 - 1) = 2 · 242 / 2 = 242.

Verificação: 2 + 6 + 18 + 54 + 162 = 242. ✓

Soma da PG infinita (|q| < 1)

Quando |q| < 1, a PG é infinita decrescente, e a soma converge para um valor finito.

Exemplo: PG (1, 1/2, 1/4, 1/8, ...). a₁ = 1, q = 1/2. S∞ = 1 / (1 - 1/2) = 1 / (1/2) = 2.

Bate-papo com o Seu Teoffilo

A soma de PG infinita é um conceito que confunde no início. "Como infinitos termos somam um valor finito?" Porque cada termo é menor que o anterior, e a soma "se acerca" do limite sem nunca ultrapassá-lo. Conceito do paradoxo de Zenão, resolvido pela matemática moderna.

Prof. Affonsinho explica, Módulo 03

Exemplo 1: encontrar termo

Numa PG, a₁ = 4 e q = 2. Qual o 6º termo?

a₆ = 4 · 2⁵ = 4 · 32 = 128.

Exemplo 2: encontrar razão

Numa PG, a₁ = 3 e a₄ = 81. Qual a razão?

a₄ = a₁ · q³ → 81 = 3q³ → q³ = 27 → q = 3.

Exemplo 3: soma finita

Soma dos 6 primeiros termos da PG (1, 2, 4, 8, ...).

a₁ = 1, q = 2, n = 6. S₆ = 1 · (2⁶ - 1) / (2 - 1) = 63.

Exemplo 4: PG infinita

Soma de (3, 1, 1/3, 1/9, ...). a₁ = 3, q = 1/3. S∞ = 3 / (1 - 1/3) = 3 / (2/3) = 9/2 = 4,5.

Cuidado: classificação por razão

• q > 1: PG crescente em valor absoluto.
• 0 < q < 1: PG decrescente em valor absoluto.
• q = 1: PG constante.
• q < 0: PG alternante (sinais alternam).
• q = 0: PG nula a partir do segundo termo (caso degenerado).

Termo médio geométrico

Em três termos consecutivos de PG (a, b, c), b = √(a · c). O termo médio é a média geométrica dos extremos.

Exemplo: 4, 12, 36 é PG (q = 3). Confere: 12 = √(4 × 36) = √144 = 12. ✓

Dica do Fuffu

Em PG, o termo médio é a média GEOMÉTRICA (raiz quadrada do produto), não a aritmética. Em PA, o termo médio é a média ARITMÉTICA (semissoma). Esta diferença diferencia os dois tipos.

Prof. Affonsinho explica, Módulo 04

4 Matrizes: conceito e tipos

Definição

Matriz é uma tabela retangular de números organizados em LINHAS e COLUNAS. Notação: A_{m×n} significa matriz com m linhas e n colunas.

Cada entrada é identificada por dois índices: a_{ij} é o elemento da linha i, coluna j.

Exemplo

A = [[1, 2, 3], [4, 5, 6]] é matriz 2×3 (2 linhas, 3 colunas).

• a₁₁ = 1 (linha 1, coluna 1)
• a₁₂ = 2 (linha 1, coluna 2)
• a₂₃ = 6 (linha 2, coluna 3)

Tipos especiais

• Matriz linha: 1×n. Exemplo: [1, 2, 3, 4].
• Matriz coluna: m×1. Exemplo: [[1], [2], [3]].
• Matriz quadrada: m = n. Exemplo: 3×3.
• Matriz nula: todos os elementos são zero.
• Matriz identidade (I): quadrada com 1's na diagonal principal e 0's nos demais lugares. I_{n×n} é o elemento neutro da multiplicação de matrizes quadradas.
• Matriz diagonal: quadrada com elementos não-nulos só na diagonal principal.
• Matriz triangular: superior (zeros abaixo da diagonal) ou inferior (zeros acima).
• Matriz simétrica: A = Aᵀ (transposta igual à original).

Matriz transposta (Aᵀ)

A transposta de A é obtida trocando linhas por colunas. Se A é m×n, Aᵀ é n×m.

Exemplo: A = [[1, 2], [3, 4], [5, 6]] (3×2). Aᵀ = [[1, 3, 5], [2, 4, 6]] (2×3).

Dica do Fuffu

Em matrizes, sempre confira a dimensão antes de qualquer operação. Para somar, devem ter MESMA dimensão. Para multiplicar A · B, o número de COLUNAS de A deve ser igual ao número de LINHAS de B. Confira antes de calcular.

Prof. Affonsinho explica, Módulo 05

5 Operações com matrizes

Soma e subtração

Para somar (ou subtrair) duas matrizes, elas devem ter a MESMA dimensão. A soma é feita elemento por elemento: (A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}.

Exemplo:

A = [[1, 2], [3, 4]] e B = [[5, 6], [7, 8]].

A + B = [[1+5, 2+6], [3+7, 4+8]] = [[6, 8], [10, 12]].

Propriedades da soma

• Comutativa: A + B = B + A.
• Associativa: (A + B) + C = A + (B + C).
• Elemento neutro: A + 0 = A (onde 0 é matriz nula da mesma dimensão).
• Elemento oposto: A + (-A) = 0.

Multiplicação por escalar

Para multiplicar uma matriz por um número (escalar k), multiplica-se cada elemento da matriz por k:

(k · A)_{ij} = k · a_{ij}.

Exemplo: A = [[1, 2], [3, 4]], k = 3. 3A = [[3, 6], [9, 12]].

Propriedades

• k(A + B) = kA + kB (distributiva sobre soma).
• (k + l)A = kA + lA.
• (kl)A = k(lA).
• 1 · A = A.
• 0 · A = 0 (matriz nula).

Bate-papo com o Seu Teoffilo

Soma e subtração de matrizes são operações simples e mecânicas. O segredo é organização: alinhe as matrizes lado a lado, opere posição por posição, escreva o resultado na mesma estrutura. Não tente fazer de cabeça; escreva no papel.

Prof. Affonsinho explica, Módulo 06

6 Multiplicação de matrizes

Condição de compatibilidade

Para A · B existir, o número de COLUNAS de A deve ser igual ao número de LINHAS de B.

Se A é m×n e B é n×p, então A · B é m×p.

Exemplo: A é 2×3 e B é 3×2. A · B é 2×2. B · A seria 3×3 (também válido aqui).

Como calcular cada elemento

O elemento C_{ij} é a SOMA dos produtos pareados da linha i de A com a coluna j de B.

Exemplo prático

A = [[1, 2], [3, 4]] e B = [[5, 6], [7, 8]].

(A · B)_{11} = 1·5 + 2·7 = 5 + 14 = 19.

(A · B)_{12} = 1·6 + 2·8 = 6 + 16 = 22.

(A · B)_{21} = 3·5 + 4·7 = 15 + 28 = 43.

(A · B)_{22} = 3·6 + 4·8 = 18 + 32 = 50.

A · B = [[19, 22], [43, 50]].

Propriedades

• Associativa: (A · B) · C = A · (B · C).
• Distributiva: A · (B + C) = A · B + A · C.
• Elemento neutro: A · I = I · A = A (para matrizes quadradas, I é a identidade).
• NÃO comutativa: A · B ≠ B · A (em geral).

Cuidado com o Estudante Arrogante

O Estudante Arrogante vai dizer: "Multiplicação de matrizes é igual à de números: comutativa, distributiva, etc." ERRADO. Multiplicação de matrizes NÃO é comutativa: A · B ≠ B · A em geral. Trocar a ordem muda o resultado, e às vezes nem existe na ordem invertida (incompatibilidade de dimensões).

Prof. Affonsinho explica, Módulo 07

7 Determinantes

Conceito

Determinante é um número associado a uma matriz QUADRADA. Tem várias aplicações: resolver sistemas lineares, calcular área e volume, identificar matrizes invertíveis.

Notação: det(A) ou |A|.

Determinante 2×2

Exemplo: A = [[3, 2], [4, 5]]. |A| = 3·5 − 2·4 = 15 − 8 = 7.

Determinante 3×3 (regra de Sarrus)

Para A = [[a, b, c], [d, e, f], [g, h, i]]:

1. Repita as duas primeiras colunas à direita: [[a, b, c, a, b], [d, e, f, d, e], [g, h, i, g, h]].
2. Some os produtos das diagonais "principais" (de cima-esquerda para baixo-direita): a·e·i + b·f·g + c·d·h.
3. Subtraia os produtos das diagonais "secundárias" (de cima-direita para baixo-esquerda): c·e·g + a·f·h + b·d·i.

Fórmula: |A| = (aei + bfg + cdh) − (ceg + afh + bdi).

Exemplo

A = [[1, 2, 3], [0, 4, 5], [1, 0, 6]].

Diagonais positivas: 1·4·6 + 2·5·1 + 3·0·0 = 24 + 10 + 0 = 34.

Diagonais negativas: 3·4·1 + 1·5·0 + 2·0·6 = 12 + 0 + 0 = 12.

|A| = 34 − 12 = 22.

Coach Jeff, macete

Para 2×2, decora: ad − bc. Para 3×3, regra de Sarrus: três diagonais positivas, três negativas. Em prova, escreva sempre a matriz expandida (com as duas primeiras colunas repetidas) para não errar Sarrus. Pra 4×4 e maior: existem outros métodos (cofatores, eliminação), mas raramente cai em prova.

Prof. Affonsinho explica, Módulo 07

Propriedades importantes

1. det(I) = 1: o determinante da identidade é 1.
2. det(A) = 0: ocorre se uma linha (ou coluna) é nula, ou se duas linhas (ou colunas) são iguais ou proporcionais.
3. det(Aᵀ) = det(A): o determinante da transposta é igual ao da original.
4. Trocar duas linhas (ou colunas) inverte o sinal: se você troca duas linhas, o determinante muda de sinal.
5. Multiplicar uma linha por escalar k multiplica o det por k: se cada elemento de uma linha é multiplicado por k, det fica k vezes maior.
6. det(A · B) = det(A) · det(B): o determinante do produto é o produto dos determinantes.
7. det(kA) = kⁿ · det(A): para matriz n×n, multiplicar TODA a matriz por k multiplica o determinante por kⁿ.

Aplicação: matriz invertível

Uma matriz quadrada A tem inversa A⁻¹ se, e somente se, det(A) ≠ 0. Se det(A) = 0, a matriz é SINGULAR (não tem inversa).

Aplicação: sistema linear

O determinante da matriz dos coeficientes de um sistema linear indica se ele tem solução única (det ≠ 0) ou não (det = 0). Veremos no próximo módulo.

Bate-papo com o Seu Teoffilo

O determinante tem interpretação geométrica: para 2×2, é a ÁREA do paralelogramo formado pelos vetores-coluna. Para 3×3, é o VOLUME do paralelepípedo. Quando det = 0, os vetores são coplanares ou colineares (área ou volume zero). Geometria por trás da álgebra.

Prof. Affonsinho explica, Módulo 08

8 Sistemas lineares

Definição

Sistema linear é um conjunto de equações lineares com as mesmas incógnitas. Forma geral 2×2:

ax + by = e
cx + dy = f
    

Pode ser escrito como matriz: A · X = B, onde A = [[a, b], [c, d]], X = [[x], [y]], B = [[e], [f]].

Métodos de resolução

1. Substituição: isole uma variável em uma equação, substitua na outra.
2. Eliminação (adição): multiplique e some equações para eliminar uma variável.
3. Regra de Cramer: usa determinantes. x = det(A_x) / det(A), y = det(A_y) / det(A).
4. Matriz inversa: X = A⁻¹ · B (se A for invertível).

Regra de Cramer (exemplo 2×2)

Sistema: 2x + 3y = 13 e x − y = 1.

A = [[2, 3], [1, -1]]. det(A) = 2·(-1) − 3·1 = -5.

A_x (substituindo coluna x pelo termo independente): [[13, 3], [1, -1]]. det(A_x) = 13·(-1) − 3·1 = -16.

A_y: [[2, 13], [1, 1]]. det(A_y) = 2·1 − 13·1 = -11.

x = -16 / -5 = 16/5 = 3,2. y = -11 / -5 = 11/5 = 2,2.

Classificação dos sistemas

• SPD (sistema possível e determinado): solução única. det(A) ≠ 0.
• SPI (sistema possível e indeterminado): infinitas soluções. det(A) = 0 e equações compatíveis.
• SI (sistema impossível): nenhuma solução. det(A) = 0 e equações incompatíveis.

O Raffinha treina sistemas

Para sistemas 2×2 simples, a substituição é o método mais rápido. Para 3×3, a regra de Cramer brilha (especialmente se você já tem prática com determinantes). Para sistemas grandes, métodos numéricos (escalonamento) são essenciais. Em prova, geralmente é 2×2 ou 3×3.

Prof. Affonsinho explica, Módulo 09

9 Como cai em prova

PA e PG

• Encontrar termo geral dado a₁ e razão.
• Calcular soma de PA ou PG.
• Identificar se uma sequência é PA ou PG.
• PG infinita decrescente: calcular soma.

Matrizes

• Soma e multiplicação por escalar.
• Multiplicação de matrizes pequenas (2×2 ou 2×3).
• Identificar matriz transposta, identidade, simétrica.

Determinantes

• Calcular determinante 2×2 (ad − bc).
• Calcular determinante 3×3 (Sarrus).
• Aplicar propriedades para simplificar (trocar linhas, multiplicar por escalar etc.).

Sistemas lineares

• Resolver sistema 2×2 ou 3×3 simples.
• Classificar como SPD, SPI ou SI.
• Aplicar regra de Cramer.

O Raffinha resume

Em qualquer banca, três habilidades resolvem 80% das questões: aplicar fórmulas de PA e PG (termo geral e soma), calcular determinantes 2×2 e 3×3, resolver sistemas 2×2 por substituição. Treine essas três e você cobre o essencial.

Mapa mental

Revisão relâmpago

Fuffu resume

PA é soma, PG é multiplicação. Matrizes operam por dimensão. Determinante 2×2 é ad-bc; 3×3 é Sarrus. Sistemas são SPD, SPI ou SI conforme det. Fórmulas decoradas, ponto garantido.

10 questões comentadas

Dez questões no padrão das bancas, comentadas pelo Prof. Affonsinho. Cobrem PA, PG, matrizes, determinantes e sistemas. Use lápis e papel; cálculo organizado evita erro.

Aviso do Examinador

Pegadinhas mais comuns: confundir PA com PG, errar termo geral por usar n em vez de (n-1), trocar regra de Sarrus, multiplicar matrizes em ordem errada, esquecer que det = 0 implica em matriz singular.

Estratégia

Identifique PA ou PG no início. Aplique a fórmula correta com (n-1), não n. Em matrizes, sempre confira dimensões. Em determinantes, organize Sarrus por escrito. Em sistemas, prefira Cramer se já souber calcular determinantes.

Q1 Questão 01 · Comentada

Comentário do Prof. Affonsinho

Aplicação direta de termo geral

Para encontrar o n-ésimo termo de uma PA: aₙ = a₁ + (n-1)·r. Cuidado para usar (n-1), não n. Aqui, 15ª posição: 14 razões somadas ao primeiro. Se você usar n direto, daria 5 + 15·4 = 65, errado (alternativa C, distrator).

Q2 Questão 02 · Comentada

Comentário do Prof. Affonsinho

A famosa soma de Gauss

Soma dos n primeiros naturais positivos: n(n+1)/2. Para n = 100: 100·101/2 = 5.050. Foi assim que Gauss surpreendeu o professor aos 7 anos. Decora a fórmula da soma da PA: (primeiro + último)·n/2.

Q3 Questão 03 · Comentada

Comentário do Prof. Affonsinho

Termo geral da PG

aₙ = a₁ · q^(n-1). Cuidado para usar (n-1) no expoente, não n. Aqui: 3 · 2⁵ = 96, não 3 · 2⁶ = 192 (alternativa B, distrator). Mesma lógica do (n-1) que vale para PA.

Q4 Questão 04 · Comentada

Comentário do Prof. Affonsinho

PG infinita decrescente

Quando |q| < 1, a PG é decrescente e converge para uma soma finita. Fórmula: S∞ = a₁/(1-q). Aqui: 4/(1-0,5) = 4/0,5 = 8. Sem essa convergência, a soma seria infinita (que é a alternativa E, distrator para quem não conhece a fórmula).

Q5 Questão 05 · Comentada

Comentário do Prof. Affonsinho

Soma vs multiplicação de matrizes

Soma de matrizes é elemento por elemento, simples. Multiplicação é mais complexa (linha × coluna, somatórios). A banca às vezes coloca o produto como distrator. Sempre confira: a operação pedida é soma ou multiplicação?

Q6 Questão 06 · Comentada

Comentário do Prof. Affonsinho

Multiplicação linha × coluna

Cada elemento (i,j) é a soma dos produtos da linha i de A pela coluna j de B. Aqui são duas matrizes 2×2, então quatro elementos a calcular. Faça um por vez, sem pressa. A organização vence o erro.

Q7 Questão 07 · Comentada

Comentário do Prof. Affonsinho

Determinante 2×2

Fórmula simples: ad − bc. Multiplique a diagonal principal e subtraia o produto da diagonal secundária. Aqui: 3·2 − 4·5 = 6 − 20 = -14. Cuidado com o sinal negativo. Em prova, sempre confira se o resultado faz sentido.

Q8 Questão 08 · Comentada

2x + y = 7
x - y = 2

Comentário do Prof. Affonsinho

Resolução de sistema 2×2

Vários métodos funcionam: substituição, eliminação por adição, Cramer. Para sistema simples, eliminação por adição é mais rápido (some as duas equações para eliminar uma variável). Cramer é elegante mas exige cálculo de determinantes.

Q9 Questão 09 · Comentada

Comentário do Prof. Affonsinho

Multiplicação não comutativa

A grande exceção das operações com matrizes: A · B ≠ B · A em geral. Pode até ter resultado igual em casos especiais, mas não é regra. As outras propriedades (soma comutativa, determinante do produto, transposta da soma) valem sempre.

Q10 Questão 10 · Comentada

Comentário do Prof. Affonsinho

Termos equidistantes em PA

Numa PA, termos equidistantes do meio têm soma constante igual ao dobro do termo central. Aqui: a₃ + a₇ = 2·a₅. O enunciado pode dar essa relação como informação redundante, e você precisa de outro dado (a razão típica em prova é assumida como inteira positiva).