Seja A o conjunto dos números inteiros n tais que I. n > 650000. II. todos os algarismos de n são diferentes. III. nenhum algarismo de n é igual a 7 ou 8. O número de elementos do conjunto é igual a
- A)70850
Errada, porque a contagem dos casos possíveis fica abaixo do total correto quando você respeita a divisão por quantidade de algarismos e o corte em 650000.
- B)71600
Errada, pois ainda não contempla corretamente todas as combinações admitidas pelas restrições do enunciado.
- C)72960
Errada, porque a soma dos casos válidos não resulta nesse total quando você faz a contagem por prefixos.
- D)73800
Certa, pois a contagem dos números maiores que 650000, com algarismos distintos e sem 7 ou 8, leva a 73800.
- E)74520
Errada, porque superestima a contagem ao desconsiderar algum dos filtros do problema ou ao contar casos que não são admissíveis.
Gabarito: D
Esse tipo de questão é de contagem por casos. A ideia é simples: você lista as possibilidades de quantidade de algarismos e, dentro de cada caso, conta quantas escolhas restam sem repetir dígitos e sem usar 7 ou 8. Em combinatória, o segredo quase sempre é organizar a fila antes de começar a contar, para não misturar os casos e nem esquecer restrições no meio do caminho. Aqui, como n > 650000, você precisa considerar números com 6, 7 e 8 algarismos. Em cada etapa, o primeiro algarismo não pode ser 0, e depois disso você vai escolhendo entre os algarismos permitidos, sempre sem repetição. Quando o número começa com 6, ainda é preciso separar os que ficam acima de 650000 dos que não ficam, porque 650000 é um corte bem específico e isso muda a contagem. Fazendo a contagem completa por blocos, somando os casos possíveis e respeitando as proibições dos algarismos 7 e 8, o total de elementos do conjunto chega a 73800. Por isso, a alternativa correta é a D. A banca costuma cobrar exatamente esse cuidado: não basta saber permutar algarismos, é preciso enxergar quais prefixos realmente passam do limite dado. Em resumo: restrição de valor + restrição de algarismos distintos + exclusão de 7 e 8 = contagem por casos. É aquela questão em que um pequeno descuido no primeiro algarismo derruba tudo, então vale respirar, separar os casos e só depois fazer as permutações.