Em uma corrida de rua com 50 participantes inscritos com as numerações de 1 a 50 ficaram nos três primeiros lugares os atletas cuja soma das inscrições era um número par. Nesta corrida, os três primeiros eram considerados os campeões e recebiam a mesma premiação, independente da ordem. Assinale a alternativa que apresenta de quantas maneiras essa situação pode acontecer.
- A)9800
Correta, pois o total de trios com soma par é C(25,3) + 25 x C(25,2) = 2300 + 7500 = 9800.
- B)7500
Errada, porque 7500 conta apenas o caso de dois ímpares e um par, esquecendo os três pares.
- C)25
Errada, porque 25 é só a quantidade de números pares ou ímpares, não a quantidade de trios possíveis.
- D)300
Errada, porque 300 não representa a contagem total dos trios válidos, sendo um valor muito abaixo do correto.
Gabarito: A
Aqui a palavra-chave é contagem com paridade. Quando a soma de três números dá par, isso só acontece em dois cenários: ou os três números são pares, ou então há exatamente dois ímpares e um par. Como os 50 atletas vão de 1 a 50, temos 25 números pares e 25 ímpares, bem equilibradinho. Agora é só contar os casos possíveis entre os três campeões, lembrando que a ordem não importa, porque todos recebem a mesma premiação. Então usamos combinações: escolher 3 pares entre 25, ou escolher 2 ímpares entre 25 e 1 par entre 25. Fazendo as contas: C(25,3) = 2300, para o caso dos três pares. E C(25,2) x 25 = 300 x 25 = 7500, para o caso de dois ímpares e um par. Somando, 2300 + 7500 = 9800. Ou seja, o gabarito A está correto porque ele reúne exatamente todas as trincas com soma par, sem repetir ordem. É aquela situação clássica em que a paridade faz o serviço pesado para você.