Considere a proposição lógica: “Para todo número real x, existe um número real y tal que x + y = 0.” A negação dessa proposição é dada pela proposição
- A)“Para todo número real x, existe um número real y tal que x + y ≠ 0.”
Errada, porque manteve o quantificador "para todo x" e negou apenas a igualdade, sem inverter a ordem dos quantificadores.
- B)“Para todo número real x, não existe um número real y tal que x + y = 0.”
Errada, porque a negação de "existe y" não é "não existe y" sem mudar o restante da estrutura; faltou trocar o quantificador externo.
- C)“Para todo número real x, para todo número real y, x + y ≠ 0.”
Errada, porque transforma a sentença em "para todo x e para todo y", o que não corresponde à negação da proposição original.
- D)“Existe pelo menos um número real x tal que, existe um número real y com x+ y ≠ 0.”
Errada, porque diz que existe um x com algum y que desmente a igualdade, mas a negação exige que o x encontrado funcione para todo y.
- E)“Existe pelo menos um número real x tal que, para todo número real y com x + y ≠ 0.”
Certa, porque a negação de "para todo x, existe y" é "existe x, para todo y", com a condição interna negada.
Gabarito: E
Aqui a chave é lembrar a ordem dos quantificadores na negação. A frase original diz: "para todo x, existe y tal que x + y = 0". Quando voce nega uma proposição desse tipo, o "para todo" vira "existe pelo menos um", e o "existe" vira "para todo". Ou seja, a negação correta fica: "existe pelo menos um número real x tal que, para todo número real y, x + y não é 0". Isso acontece porque negar uma frase com quantificadores não é só trocar o sinal da igualdade. Primeiro voce troca os quantificadores, depois nega a condição interna. Em símbolos: ¬(∀x ∃y P(x,y)) = ∃x ∀y ¬P(x,y). É o clássico combo que a FGV adora cobrar: se voce inverter só uma parte, cai na pegadinha. Vamos ao conteúdo da frase: a negação não diz que todo x falha, nem que para cada x existe um y diferente. Ela diz que há pelo menos um x para o qual nenhum y resolve a equação. Em outras palavras, existe um real que não tem oposto? Parece estranho, mas essa é exatamente a forma lógica da negação. Na prática, como a proposição original é verdadeira em R, sua negação é falsa, mas o que importa na questão é a forma lógica correta. Por isso, a alternativa E está correta: ela traduz a estrutura ∃x ∀y (x + y ≠ 0).