No exterior de um quadrado de lado igual a 6 cm, construa quatro semicírculos com os quatro lados do quadrado como seus diâmetros. Outro quadrado, ABCD, tem seus lados paralelos aos lados correspondentes do quadrado original, e cada lado de ABCD é tangente a um dos semicírculos. A área do quadrado ABCD, em centímetros quadrados é igual a
- A)144.
Correta, porque o lado do quadrado tangente aos semicírculos mede 12 cm, então sua área é 12² = 144 cm².
- B)100.
Errada, pois 100 corresponderia a um lado de 10 cm, mas a tangência aos semicírculos leva a um lado maior.
- C)81.
Errada, pois 81 corresponderia a lado 9 cm, e a construção geométrica produz lado 12 cm.
- D)64.
Errada, pois 64 corresponderia a lado 8 cm, valor menor do que o obtido pela soma dos raios e do lado central.
- E)36.
Errada, pois 36 é a área do quadrado original de lado 6 cm, não do quadrado tangente externo.
Gabarito: A
A ideia aqui é enxergar a figura sem complicação: o quadrado original tem lado 6 cm, então cada semicírculo tem raio 3 cm, porque o diâmetro é exatamente um lado do quadrado. Como os semicírculos estão para fora do quadrado, o centro de cada um fica no meio do respectivo lado. O quadrado ABCD é paralelo ao original, então seus lados formam linhas horizontais e verticais, como se fosse uma moldura maior envolvendo tudo. Agora vem o ponto-chave: se um lado do quadrado ABCD é tangente a um semicírculo, a distância desse lado até o centro do semicírculo deve ser igual ao raio, isto é, 3 cm. Como o lado original já está a 3 cm do centro do semicírculo e o raio também é 3 cm, o lado tangente fica mais 3 cm afastado. Assim, de um lado ao outro, temos 3 + 6 + 3 = 12 cm. Logo, o lado do quadrado ABCD mede 12 cm. A área de um quadrado é lado ao quadrado, então 12² = 144 cm². Por isso, o gabarito é a alternativa A. Em resumo: o segredo é transformar a tangência em distância de raio. Não é para “chutar pela aparência”, é para usar que tangente fica a exatamente um raio do centro. Aqui, isso faz o quadrado crescer de 6 para 12 de lado, e a área dispara para 144. Matemática adora esse tipo de pegadinha elegante.