Sejam P, Q e R proposições lógicas simples que compõem a seguinte estrutura proposicional: (P ⨀ ¬ P) ⋀ [Q → (Q ⨂ R)] em que ⨀ e ⨂ representam conectivos lógicos ocultos e ¬ P representa a negação de P. Sabe-se que tal estrutura proposicional é uma tautologia, isto é, seu valor lógico é sempre verdadeiro quaisquer que sejam os valores lógicos individuais de P, Q e R. Os conectivos ocultados por ⨀ e ⨂ são, respectivamente,
- A)∨ e ∨
Correta, porque P ∨ ¬P é sempre verdadeiro e Q → (Q ∨ R) também é sempre verdadeiro, tornando toda a expressão uma tautologia.
- B)∨ e ∧
Errada, porque P ∨ ¬P até funciona, mas Q → (Q ∧ R) não é tautologia, já que pode falhar quando Q é verdadeiro e R é falso.
- C)∧ e ∨
Errada, porque P ∧ ¬P é sempre falso, então a expressão inteira jamais poderia ser tautologia.
- D)→ e ∧
Errada, porque P → ¬P não é sempre verdadeiro, além de Q → (Q ∧ R) também não garantir tautologia.
- E)→ e ∨
Errada, porque P → ¬P falha em vários casos e não há como a estrutura inteira ser tautológica com esse primeiro trecho.
Gabarito: A
Quando uma questão diz que a estrutura toda é tautologia, você pode testar os pedaços com a lógica básica dos conectivos. Aqui, o trecho mais importante é [31m(P ⨀ ¬P)[0m, porque ele precisa ser sempre verdadeiro para qualquer valor de P. Entre os conectivos usuais, isso só acontece com a disjunção: P ∨ ¬P é sempre verdadeira, a famosa lei do terceiro excluído. O segundo pedaço é [Q → (Q ⨂ R)]. Para essa implicação ser sempre verdadeira, o consequente precisa acompanhar a lógica de Q. Se dentro dos parênteses tivermos Q ∨ R, então quando Q é verdadeiro o consequente também é verdadeiro, e quando Q é falso a implicação já fica verdadeira automaticamente. Resultado: Q → (Q ∨ R) é tautologia. Juntando os dois lados com ∧, temos verdadeiro e verdadeiro, o que continua verdadeiro em todos os casos. Por isso, os conectivos ocultos são, respectivamente, ∨ e ∨. Em linguagem de prova, a resposta explora uma ideia clássica: para a expressão inteira ser tautológica, cada bloco precisa “se sustentar sozinho” sem depender de valores específicos de P, Q e R. Então o gabarito A está correto porque P ∨ ¬P é tautologia e Q → (Q ∨ R) também é tautologia. A estrutura inteira vira uma conjunção de duas verdades lógicas, permanecendo sempre verdadeira.