Um torneio de futebol foi disputado por 10 times e cada um dos times jogou uma única partida com cada um dos outros. A pontuação dos times é a tradicional: para cada partida o time vencedor ganha 3 pontos e o perdedor nada ganha. Em caso de empate, cada time ganha 1 ponto. Terminado o torneio, a soma dos pontos ganhos por todos os times foi 122. O número de partidas que terminaram empatadas foi
- A)11.
Errada, porque 11 empates reduziriam a soma total para 124, e não 122.
- B)12.
Errada, porque 12 empates levariam o total a 123 pontos, ainda acima do enunciado.
- C)13.
Certa, pois 45 partidas geram 135 pontos sem empates, e a diferença para 122 é exatamente 13.
- D)14.
Errada, porque 14 empates fariam o total cair para 121 pontos.
- E)15.
Errada, porque 15 empates fariam a soma final chegar a 120 pontos.
Gabarito: C
Em torneios de pontos corridos, a ideia mais importante é esta: a soma dos pontos depende do resultado de cada partida. Se há vencedor, a partida distribui 3 pontos no total; se há empate, distribui 2 pontos, porque cada time recebe 1. Parece detalhe, mas é exatamente aí que a questão pega você. Com 10 times jogando uma vez contra cada outro, o número de partidas é C(10,2) = 45. Se todas tivessem vencedor, a soma seria 45 x 3 = 135 pontos. Como houve empates, cada empate reduz a soma total em 1 ponto, já que troca uma partida de 3 pontos por uma de 2. A soma final foi 122. Então faltaram 135 - 122 = 13 pontos em relação ao cenário sem empates. Logo, houve 13 partidas empatadas. É uma conta direta, elegante e muito típica da FGV: menos conversa, mais raciocínio de contagem. Portanto, o gabarito correto é a alternativa C. Não há fórmula mágica além de enxergar que o empate “tira” 1 ponto do total da partida.