Em volta de uma mesa circular há 6 cadeiras iguais. Uma família composta por pai, mãe e dois filhos deve ocupar quatro dessas cadeiras. O pai e a mãe não devem se sentar em cadeiras vizinhas e duas cadeiras devem permanecer vazias. Uma disposição dos membros da família em volta da mesa é considerada diferente de outra se pelo menos dois deles estiverem em posições relativas diferentes. O número de maneiras diferentes de se sentar essa família pode se sentar em volta da mesa é:
- A)18.
18 está abaixo do total porque ignora parte das escolhas dos lugares dos filhos e das cadeiras vazias.
- B)24.
24 não atende à contagem completa das distribuições após fixar o pai e impor a restrição de vizinhança.
- C)32.
32 fica perto, mas erra a contagem das posições restantes ou esquece alguma permutação dos filhos.
- D)36.
36 é o valor correto: fixando o pai, há 3 posições para a mãe, C(4,2) escolhas para os filhos e 2! ordens para eles.
- E)72.
72 dobra indevidamente as disposições, como se houvesse duas contagens distintas para a mesma configuração circular.
Gabarito: D
Em problemas de mesa circular, o truque mais clássico é “fixar” uma pessoa para eliminar as rotações iguais. Aqui, como as cadeiras são iguais, sentar todo mundo girando a mesa não cria uma disposição nova. Então vamos prender o pai em uma cadeira de referência e contar o resto a partir daí. Com o pai fixo, a mãe não pode ficar nas duas cadeiras vizinhas a ele. Sobram 3 lugares possíveis para a mãe. Até aqui, sem drama. Agora vêm os dois filhos e as duas cadeiras vazias: depois de colocar pai e mãe, restam 4 cadeiras livres, e você precisa escolher 2 delas para os filhos. Isso pode ser feito de C(4,2)=6 maneiras, e os dois filhos podem trocar de lugar em 2! = 2 maneiras. Multiplicando tudo: 3 x 6 x 2 = 36. Portanto, o número de disposições é 36, que corresponde à alternativa D. A lógica por trás é bem padrão em contagem: primeiro você elimina a simetria circular, depois trata as restrições de vizinhança e, por fim, conta escolhas e permutações dos restantes. Sem pulo de cadeira e sem mágica, só organização.