Durante uma viagem, sete amigos (A, B, C, D, E, F e G) reservaram três quartos diferentes de um mesmo hotel. Um desses quartos foi reservado para três pessoas e os demais, para duas pessoas cada. Duas possíveis distribuições distintas dos amigos pelos quartos são: A quantidade total de possíveis distribuições distintas dessas sete pessoas nesses quartos é
- A)35.
Errada, porque 35 conta apenas a escolha do grupo de 3 pessoas, sem distribuir os 4 restantes entre os outros dois quartos.
- B)105.
Errada, porque 105 ainda não considera todas as formas de completar os dois quartos com 2 pessoas cada.
- C)120.
Errada, porque 120 não corresponde à contagem correta por combinações sucessivas dos grupos.
- D)210.
Certa, porque C(7,3) x C(4,2) = 35 x 6 = 210, que é a quantidade de distribuições distintas.
- E)225.
Errada, porque 225 não surge da contagem combinatória adequada para essa divisão em 3, 2 e 2 pessoas.
Gabarito: D
Aqui a ideia é de contagem com repartição em grupos de tamanhos fixos. Os 7 amigos vão ocupar 3 quartos diferentes, sendo um quarto com 3 pessoas e os outros dois com 2 pessoas cada. Como os quartos são diferentes, a ordem entre eles importa, mas os grupos dentro de cada quarto não têm ordem interna: não existe "primeiro" ou "segundo" dentro do mesmo quarto. Então você faz em etapas. Primeiro, escolhe quais 3 amigos vão para o quarto triplo: isso dá C(7,3) = 35. Depois, dos 4 que sobraram, escolhe 2 para um dos quartos duplos: C(4,2) = 6. Os 2 restantes vão automaticamente para o último quarto. Logo, o total é 35 x 6 = 210. Esse é o tipo de questão em que muita gente esquece que os quartos são distintos e acaba contando pouco demais. Se fossem quartos "iguais", a conta mudaria. Mas aqui o enunciado deixa claro que são três quartos diferentes do hotel, então a separação dos grupos vale mesmo como etapas sucessivas. Por isso, o gabarito é D, pois 210 é exatamente o número de distribuições distintas.