Durante as investigações de um sinistro, foram obtidos exatos 20 minutos e 15 segundos contínuos de gravação de uma câmera de segurança. Por um dano na câmera, ao longo de toda a gravação, alternam-se 2 minutos de imagens nítidas com períodos variáveis de imagens sem qualquer nitidez. O primeiro trecho sem nitidez dura 1 segundo e cada um dos demais dura o dobro do tempo do trecho defeituoso precedente. Dessa forma, nos primeiros minutos da gravação, vê-se, nessa ordem: 2 minutos de imagens nítidas, seguidos de 1 segundo de imagens sem nitidez, seguido de 2 minutos de imagens nítidas, seguidos de 2 segundos de imagens sem nitidez, seguidos de 2 minutos de imagens nítidas, seguidos de 4 segundos de imagens sem nitidez. Com base nessas informações, é correto concluir que o tempo total de imagens sem nitidez nessa gravação é de exatamente
- A)4 minutos.
Errada, porque 4 minutos ignoram os segundos extras que também fazem parte da soma dos trechos sem nitidez.
- B)4 minutos e 3 segundos.
Errada, porque a soma dos períodos ruins passa de 4 minutos e 3 segundos quando você inclui toda a progressão geométrica.
- C)4 minutos e 7 segundos.
Errada, porque 4 minutos e 7 segundos ainda não corresponde ao total obtido ao somar 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 e 128 segundos.
- D)4 minutos e 15 segundos.
Certa, porque a soma dos trechos sem nitidez é 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 = 255 segundos, isto é, 4 minutos e 15 segundos.
- E)5 minutos e 31 segundos.
Errada, porque 5 minutos e 31 segundos é maior do que a soma real dos intervalos sem nitidez na gravação.
Gabarito: D
A ideia aqui é enxergar a gravação como uma sequência repetida: 2 minutos de imagem nítida, depois um trecho sem nitidez, depois mais 2 minutos nítidos, depois outro trecho ruim, e assim por diante. O detalhe importante é que os trechos ruins dobram de tamanho: 1 segundo, 2 segundos, 4 segundos, 8 segundos, e por aí vai. Isso é uma progressão geométrica de razão 2. O truque do problema é somar os blocos completos até fechar os 20 minutos e 15 segundos. Se houver m trechos sem nitidez, então há m trechos nítidos de 2 minutos cada, totalizando 120m segundos, e a soma dos períodos ruins vale 1 + 2 + 4 + ... + 2^(m-1), que é 2^m - 1. Testando, com 8 trechos ruins, o tempo total fica 8 x 120 + (2^8 - 1) = 960 + 255 = 1215 segundos, exatamente os 20 minutos e 15 segundos da gravação. Então a gravação termina certinha no fim de um trecho sem nitidez, sem sobrar nem faltar nada. Logo, o tempo total de imagens sem nitidez é 255 segundos, isto é, 4 minutos e 15 segundos. A resposta correta é a alternativa D. A matemática aqui é pura progressão geométrica, sem mistério, só com um pouco de paciência para não cair na isca do crescimento dobrando.