Uma escola de ensino médio oferece a seus estudantes cursos extras de francês, italiano e alemão. Os estudantes podem frequentar um ou mais desses cursos. Uma turma dessa escola tem 50 alunos no total. Todos os estudantes dessa turma frequentam pelo menos um dos três cursos extras de idiomas oferecidos pela escola, sendo que 30 frequentam o curso de francês, 20 frequentam italiano e 10 frequentam alemão. Sabe-se ainda que 10 frequentam simultaneamente francês e italiano, 8 frequentam simultaneamente francês e alemão e 6 frequentam simultaneamente italiano e alemão. Assinale a opção que indica o número de alunos da turma frequentam simultaneamente os três cursos de idiomas oferecidos pela escola.
- A)6
Errada, porque 6 é apenas uma das interseções de dois cursos informadas no enunciado, não o total dos que fazem os três.
- B)10
Errada, pois 10 é o número de alunos que fazem alemão, não o número dos que frequentam simultaneamente os três cursos.
- C)14
Certa, porque ao aplicar inclusão-exclusão e corrigir as contagens repetidas, chega-se a 14 alunos nos três cursos.
- D)34
Errada, porque 34 não corresponde ao ajuste correto das sobreposições entre os conjuntos de alunos.
- E)86
Errada, pois 86 é maior que o total de alunos da turma, então não faz sentido como resposta.
Gabarito: C
Quando a questão envolve "frequenta um ou mais cursos" e ainda traz os totais de cada grupo, o caminho clássico é a fórmula da inclusão-exclusão. Ela evita que você conte a mesma pessoa duas ou três vezes. Aqui, temos 30 no francês, 20 no italiano e 10 no alemão, com interseções de dois cursos já informadas. Se somássemos tudo de forma ingênua, daria 30 + 20 + 10 = 60. Só que os alunos que fazem dois cursos entram duas vezes nessa soma, então precisamos subtrair as interseções: 10 + 8 + 6 = 24. Assim, ficamos com 60 - 24 = 36. Mas ainda falta ajustar os alunos que fazem os três cursos. Eles foram subtraídos três vezes, quando o correto seria contá-los uma única vez. Como a turma toda tem 50 alunos e todos fazem pelo menos um curso, aplicamos a fórmula: 50 = 30 + 20 + 10 - 10 - 8 - 6 + x. Resolvendo, 50 = 36 + x, então x = 14. Por isso o gabarito é a alternativa C. Em termos de doutrina de contagem, isso é a aplicação direta do princípio da inclusão-exclusão, muito usado em questões de combinatória e conjuntos.