Considere as letras da sigla DNIT. O número de maneiras distintas de escrever essas 4 letras em sequência de modo que as letras D e T não fiquem juntas é
- A)24.
Errada, porque 24 é o total de permutações sem nenhuma restrição, então ainda inclui os casos em que D e T ficam juntas.
- B)18.
Errada, porque 18 não corresponde nem ao total nem ao número de casos excluídos; a conta correta exige usar complemento.
- C)12.
Certa, pois 24 arranjos totais menos 12 arranjos com D e T juntos resulta em 12 arranjos válidos.
- D)9.
Errada, porque 9 não aparece em nenhuma das contagens naturais do problema e subestima o número de arranjos permitidos.
- E)6.
Errada, porque 6 é apenas o número de ordenações do bloco com N e I, sem considerar as duas ordens internas do bloco nem o total pedido.
Gabarito: C
Aqui a ideia é contar permutações, mas com uma restrição: as letras D e T não podem ficar juntas. Como as 4 letras de DNIT são todas diferentes, o total de arranjos possíveis é 4! = 24. Até aí, festa completa. O problema pede para tirar os casos em que D e T aparecem lado a lado. Para contar esses casos proibidos, pense em DT como um bloco único. Aí você passa a ter 3 elementos para ordenar: o bloco (DT ou TD), mais N e I. Isso gera 3! = 6 maneiras. Como dentro do bloco ainda há 2 ordens possíveis, o total de casos com D e T juntos é 6 x 2 = 12. Agora vem a parte final: 24 - 12 = 12. Ou seja, sobram 12 arranjos em que D e T não ficam juntas. Esse é o gabarito da alternativa C. Esse tipo de conta é um clássico de contagem com restrição, usando o princípio do complemento: primeiro conta tudo, depois subtrai o que não serve. É uma estratégia muito querida em provas da FGV, porque evita enumeração trabalhosa e reduz chance de erro por cansaço.