Uma sequência de 2024 números inteiros maiores do que zero é tal que um dos números ocorre exatamente 13 vezes e qualquer outro número dessa sequência ocorre menos vezes do que ele. A menor quantidade possível de números inteiros diferentes nessa sequência é
- A)169.
Correta: a conta mínima é 1 número com 13 ocorrências e mais 168 números para completar as 2011 posições restantes, totalizando 169.
- B)168.
Errada: 168 ignora que, além dos números dos 2011 termos restantes, ainda existe o número que aparece exatamente 13 vezes.
- C)167.
Errada: 167 seria o resultado de considerar apenas os grupos dos 2011 termos, sem contar o número que ocorre 13 vezes.
- D)166.
Errada: 166 é menor do que o mínimo possível, porque 2011 não cabe em apenas 165 grupos de até 12 elementos.
- E)165,
Errada: 165 também fica abaixo do necessário; faltariam grupos para acomodar todos os 2011 termos com no máximo 12 repetições.
Gabarito: A
A ideia aqui é transformar a frase em conta de agrupamento. Como um dos números aparece exatamente 13 vezes, ele já ocupa 13 posições da sequência. Sobram 2024 - 13 = 2011 posições para serem distribuídas entre os outros números. Agora vem o ponto-chave: qualquer outro número pode aparecer menos do que 13 vezes, ou seja, no máximo 12 vezes. Para reduzir ao máximo a quantidade de números diferentes, voce quer encher cada grupo até 12, deixando apenas o resto para um último grupo menor. Então fazemos 2011 dividido por 12. Como 12 x 167 = 2004, ainda restam 7. Logo, os 2011 elementos restantes exigem 167 números distintos com 12 ocorrências e mais 1 número com 7 ocorrências. Isso dá 168 números distintos nesses 2011 termos. Somando o número que aparece 13 vezes, temos 168 + 1 = 169 números diferentes ao todo. Portanto, o gabarito A está correto. Em problemas assim, o truque é pensar em "capacidade máxima por grupo" e usar o teto da divisão.