Sejam A e B dois conjuntos finitos não vazios tais que A ∪ B tem 8 elementos e A ∩ B tem 3 elementos. O conjunto A - B tem, no mínimo,
- A)4 elementos.
Errada, porque 4 nao e o minimo possivel: ainda e viavel deixar A sem elementos exclusivos.
- B)3 elementos.
Errada, porque tambem nao e o menor valor; a intersecao dada permite reduzir A - B ainda mais.
- C)2 elementos.
Errada, pois o valor minimo pode ser menor do que 2 quando A fica contido em B.
- D)1 elemento.
Errada, porque ainda existe a possibilidade de A nao ter nenhum elemento fora de B.
- E)0 elemento.
Certa, pois A pode estar totalmente contido em B, fazendo A - B ter 0 elementos.
Gabarito: E
Em conjuntos, a conta mais importante aqui é a decomposicao da uniao: |A ∪ B| = |A - B| + |B - A| + |A ∩ B|. Isso funciona porque a uniao junta exatamente as partes exclusivas de cada conjunto e a parte comum, sem contar nada duas vezes. Parece simples, e é mesmo, desde que voce nao caia na tentacao de somar tudo de qualquer jeito. No enunciado, temos |A ∪ B| = 8 e |A ∩ B| = 3. Entao sobra |A - B| + |B - A| = 5. Como a questao pede o menor valor possivel de |A - B|, voce pode concentrar toda essa sobra em B - A. Em outras palavras, A pode estar completamente contido em B, desde que a intersecao tenha 3 elementos. Assim, e possivel ter |A - B| = 0, |A ∩ B| = 3 e |B - A| = 5, o que gera exatamente 8 elementos na uniao. Como os conjuntos sao nao vazios, isso nao impede nada: A pode ter apenas os 3 elementos comuns, e B ter esses 3 mais outros 5. Portanto, o minimo de elementos em A - B e 0. Resumo de prova: quando a questao pede minimo ou maximo em problemas de conjuntos, pense em “empurrar” os elementos para um lado ou para outro respeitando a formula da uniao. Aqui, o gabarito E esta correto porque A pode ficar totalmente dentro de B.