Considere um número inteiro, par e positivo N. Esse número será submetido à seguinte sequência de operações: 1º Some 3 ao número N; 2º Eleve ao quadrado o resultado obtido na operação anterior; 3º Subtraia 1 do resultado obtido na operação anterior; 4º Divida por 4 o resultado obtido na operação anterior. Sob essas condições, qualquer que seja N, o resultado obtido ao final da sequência de operações será
- A)o triplo de N.
Errada, porque o resultado final não é 3N, mas sim uma expressão quadrática em metade de N.
- B)o quadruplo de N.
Errada, pois o processo não gera 4N; ao escrever N = 2k, o final vira (k + 1)(k + 2).
- C)o produto da metade de N pelo sucessor imediato da metade de N.
Errada, porque o produto da metade de N pelo sucessor da metade de N seria k(k + 1), e não o valor obtido.
- D)o produto dos dois sucessores consecutivos e imediatos da metade de N.
Certa, pois com N = 2k o resultado final é (k + 1)(k + 2), isto é, o produto dos dois sucessores imediatos da metade de N.
- E)o produto do antecessor imediato da metade de N pelo sucessor imediato da metade de N.
Errada, porque o produto de k - 1 por k + 1 daria k^2 - 1, que não corresponde à expressão final.
Gabarito: D
A questão parece pesada, mas é só álgebra com uma boa dose de “organize a expressão e não entre em pânico”. Como N é par, você pode escrevê-lo como N = 2k, com k inteiro positivo. Isso costuma simplificar muito esse tipo de sequência de operações. Agora é só seguir o roteiro: somar 3, elevar ao quadrado, subtrair 1 e dividir por 4. Fazendo isso com N = 2k, temos: (2k + 3)^2 = 4k^2 + 12k + 9. Tirando 1, fica 4k^2 + 12k + 8. Dividindo por 4, o resultado é k^2 + 3k + 2. Esse polinômio fatorado fica (k + 1)(k + 2). Como k é a metade de N, isso significa exatamente o produto dos dois sucessores consecutivos e imediatos da metade de N: o primeiro é k + 1 e o segundo é k + 2. Então o gabarito é a alternativa D. A sacada aqui é perceber que a expressão final não depende de testar valores de N, mas de transformar tudo em uma forma algébrica simples e fatorável.