Considere o conjunto A de todos os números inteiros positivos menores do que 2023. Seja B o conjunto dos elementos de A que são divisíveis por 3 ou por 5. O número de elementos do conjunto A − B é:
- A)1078;
Certa, pois 2022 - (674 + 404 - 134) = 1078.
- B)1036;
Errada, pois 1036 não corresponde à contagem dos números que não são múltiplos de 3 ou 5.
- C)944;
Errada, pois 944 é a quantidade de elementos de B, não de A - B.
- D)912;
Errada, pois 912 resulta de uma contagem incompleta ou de subtração equivocada.
- E)900.
Errada, pois 900 fica abaixo do valor correto após aplicar inclusão-exclusão.
Gabarito: A
Em questões de contagem como esta, o caminho mais seguro é calcular o total e depois tirar o que foi excluído. O conjunto A tem todos os inteiros positivos menores que 2023, então ele vai de 1 até 2022, somando 2022 elementos. O conjunto B reúne os números divisíveis por 3 ou por 5. Aqui entra o velho e eficiente princípio da inclusão-exclusão: conte os múltiplos de 3, conte os múltiplos de 5 e subtraia os que foram contados duas vezes, isto é, os múltiplos de 15. Assim, temos 674 + 404 - 134 = 944 elementos em B. Mas a pergunta quer A - B, ou seja, os números que não são divisíveis nem por 3 nem por 5. Então basta fazer 2022 - 944 = 1078. Esse é exatamente o valor da alternativa A. Perceba que a banca costuma cobrar mais a organização da contagem do que qualquer fórmula mirabolante. Aqui, inclusão-exclusão é o truque clássico, e funciona sem drama.