Um movimento de um pentágono corresponde a um giro em torno de seu centro de 72 graus, no sentido horário ou no sentido anti-horário, de modo que os vértices mudem de posição, mas a região interior do pentágono fique inalterada. Queremos retornar os vértices à posição original após 7 movimentos. O número de modos distintos com que isso pode ser feito é igual a
- A)7.
7 não basta, porque existem duas configurações possíveis de saldo que levam ao retorno, e não apenas uma.
- B)10.
10 não aparece na contagem combinatória correta, que depende de escolher 1 ou 6 movimentos em um total de 7.
- C)12.
12 seria um resultado de uma contagem incompleta, mas as duas casos válidos somam 14.
- D)14.
Correta: as sequências válidas ocorrem quando há 1 ou 6 giros em um sentido, totalizando C(7,1)+C(7,6)=14.
- E)18.
18 não corresponde a nenhuma combinação possível dos 7 movimentos que zere o deslocamento módulo 5.
Gabarito: D
Aqui a ideia é enxergar cada movimento do pentágono como um passo de 1 posição no sentido horário ou anti-horário. Como o pentágono tem 5 vértices, dar 5 passos “líquidos” em uma direção faz você voltar ao início. Então o problema vira contar sequências de 7 movimentos cuja soma final seja múltipla de 5. Seja c o número de giros no sentido horário. Então, os outros 7-c são no sentido anti-horário. O saldo total é c - (7-c) = 2c - 7. Para voltar à posição original, esse saldo precisa ser múltiplo de 5. Logo, precisamos de 2c - 7 ≡ 0 (mod 5). Isso dá 2c ≡ 2 (mod 5), então c ≡ 1 (mod 5). Como c está entre 0 e 7, as possibilidades são c = 1 ou c = 6. Agora é só contar: escolher 1 movimento horário entre 7 dá C(7,1) = 7, e escolher 6 movimentos horários dá C(7,6) = 7. Somando, temos 14 modos. Por isso o gabarito é a letra D.