Duas estradas ligam as cidades A e B. As estradas se entrecruzam entre A e B em 5 pontos diferentes, onde se pode passar de uma a outra. O número de modos que se pode ir de A a B, avançando sempre e mudando de estrada 3 vezes, é igual a:
- A)10;
Errada, porque 10 seria apenas C(5,3), sem considerar que você pode começar por qualquer uma das duas estradas.
- B)15;
Errada, porque 15 não corresponde à contagem combinatória correta do problema.
- C)20;
Certa, pois há 10 maneiras de escolher os 3 pontos de troca entre 5 e ainda 2 escolhas para a estrada inicial, totalizando 20.
- D)25;
Errada, porque 25 não surge da combinação adequada entre pontos de troca e escolha da estrada inicial.
- E)30.
Errada, porque 30 superestima a contagem e não respeita a estrutura do enunciado.
Gabarito: C
Aqui a ideia é de contagem por etapas. Você tem 5 pontos de cruzamento entre as duas estradas, e precisa ir de A a B sempre avançando, fazendo exatamente 3 trocas de estrada. Cada troca acontece em um desses pontos, e a ordem dos pontos importa porque você não pode voltar para trás. Então, primeiro você escolhe quais 3 dos 5 pontos serão usados nas trocas. Isso dá C(5,3) = 10. Mas ainda falta um detalhe importante: você pode começar em qualquer uma das duas estradas. Ou seja, para cada escolha de 3 pontos, há 2 possibilidades de estrada inicial. Assim, o total é 2 x C(5,3) = 2 x 10 = 20. Por isso o gabarito é a letra C. Em problemas de contagem, esse tipo de cuidado com a “escolha inicial” costuma ser o ponto que separa o acerto do clássico tropeço de prova.