Um conjunto A é constituído por uma sequência ordenada de números inteiros consecutivos. O conjunto tem um número par de elementos. A soma da metade dos menores números de A vale 35 e a soma da metade dos maiores números de A vale 60. O número de elementos de A é igual a:
- A)10;
Correta, pois a diferenca entre as somas das metades e 25, o que leva a k = 5 e, portanto, 2k = 10 elementos.
- B)12;
Errada, porque 12 elementos implicariam k = 6 e a diferenca entre as metades seria 36, nao 25.
- C)14;
Errada, porque 14 elementos implicariam k = 7 e a diferenca entre as metades seria 49, nao 25.
- D)16;
Errada, porque 16 elementos implicariam k = 8 e a diferenca entre as metades seria 64, nao 25.
- E)18.
Errada, porque 18 elementos implicariam k = 9 e a diferenca entre as metades seria 81, nao 25.
Gabarito: A
Quando voce ve uma sequencia de inteiros consecutivos com quantidade par de elementos, vale pensar em duas metades iguais: a metade menor e a metade maior. Como os numeros crescem de 1 em 1, a passagem de uma metade para a outra “empurra” todos os termos pelo mesmo tanto. Isso costuma gerar uma conta bem elegante, sem precisar sair escrevendo a lista inteira. Aqui, seja o conjunto A com 2k elementos. A soma da metade menor vale 35 e a soma da metade maior vale 60. A sacada é comparar essas duas metades: cada termo da segunda metade é exatamente k unidades maior do que o termo correspondente da primeira metade. Como sao k pares de termos, a diferenca entre as somas fica k vezes k, isto e, k². Logo, 60 - 35 = 25, entao k² = 25 e k = 5. Como o conjunto tem 2k elementos, o total e 10. Sem drama, sem lista gigante, so a boa e velha estrutura das sequencias consecutivas. Portanto, o gabarito A esta correto porque o numero de elementos de A e 10.