Sejam A = (34, 52) e B = (10, 7) dois pontos no plano cartesiano. Considere o ponto C = (x, y) situado no segmento que une A a B e tal que a distância de C a A seja o dobro da distância de C a B. A soma x + y das coordenadas de C vale
- A)38.
Errada, porque 38 não corresponde às coordenadas obtidas pela divisão interna na razão 2:1.
- B)39.
Errada, pois a posição de C deve respeitar a razão entre as distâncias, e isso leva a outro valor de soma.
- C)40.
Certa, porque o ponto divide o segmento na razão AC:CB = 2:1, resultando em C = (18, 22) e x + y = 40.
- D)41.
Errada, já que a aplicação correta da fórmula de seção não produz 41.
- E)42.
Errada, porque o cálculo das coordenadas de C não chega a 42.
Gabarito: C
Quando um ponto C fica sobre o segmento que liga A a B, e a questão informa uma razão de distâncias, você está diante de uma divisão interna do segmento. Aqui, a frase-chave é: a distância de C até A é o dobro da distância de C até B. Isso quer dizer que o trecho AC vale 2 partes e o trecho CB vale 1 parte. Em problemas assim, o ponto não fica “meio a meio”, e sim mais perto de B, porque B corresponde ao trecho menor. A regra prática é usar a média ponderada das coordenadas: se AC:CB = 2:1, então C = (1 vezes A + 2 vezes B) dividido por 3. Aplicando aos pontos A = (34, 52) e B = (10, 7), temos x = (34 + 2\cdot10)/3 = 18 e y = (52 + 2\cdot7)/3 = 22. Assim, o ponto C é (18, 22). Por fim, basta somar: x + y = 18 + 22 = 40. Logo, a alternativa correta é a C. É a clássica conta de “quem tem o trecho menor puxa o ponto para mais perto de si”.