Um quadrado tem lado igual a 8. O número máximo de circunferências de raio 1 que podem ser postas no interior do quadrado de modo que os centros das circunferências estejam todos sobre a mesma diagonal do quadrado é igual a
- A)8.
Errada, porque 8 superestima a quantidade: os centros não podem ocupar a diagonal inteira sem respeitar a margem de 1 unidade até as bordas nem a distância mínima entre eles.
- B)7.
Errada, pois 7 ainda é mais do que o espaço útil comporta ao longo da diagonal com circunferências de raio 1.
- C)6.
Errada, porque ainda subestima a quantidade máxima: cabem mais do que 6? Não, aqui o limite correto é 5.
- D)5.
Certa, porque a diagonal útil para os centros mede 6√2 e, com distância mínima 2 entre centros consecutivos, o máximo é 5 circunferências.
- E)4.
Errada, porque 4 é o número de intervalos completos de 2 que cabem no trecho útil, mas isso gera 5 centros, não 4.
Gabarito: D
Aqui o truque é enxergar a diagonal como uma “pista” para os centros das circunferências. Como cada circunferência tem raio 1, o centro não pode ficar encostado na borda do quadrado: ele precisa estar a pelo menos 1 unidade de cada lado. Em um quadrado de lado 8, isso encurta a diagonal útil dos centros para o trecho entre os pontos (1,1) e (7,7), cujo comprimento é 6√2. Agora vem a parte decisiva: para duas circunferências de raio 1 não se sobreporem, os centros precisam ficar a distância mínima de 2 entre si. Então, ao longo desse trecho de comprimento 6√2, você conta quantos “saltos” de 2 cabem. Como 6√2 ≈ 8,48, cabem 4 intervalos completos de tamanho 2, o que permite 5 centros no total. Ou seja, a lógica é: comprimento disponível para os centros dividido pela distância mínima entre eles, lembrando de acrescentar 1 por causa do primeiro centro. Por isso o máximo é 5. Em linguagem de prova, o gabarito é a alternativa D. A questão mistura geometria com contagem discreta, bem ao estilo de banca que gosta de transformar desenho em aritmética. O macete é sempre perguntar: qual é o espaço realmente disponível para os centros? E qual é a distância mínima entre eles?