Eva tem 9 maçãs indistinguíveis e deseja distribuí-las a 3 amigos de forma que cada um deles fique com, ao menos, 2 maçãs. O número de maneiras distintas de Eva distribuir as maçãs é
- A)12.
12 não é o total correto de distribuições, porque a contagem deve considerar as soluções inteiras da equação com a restrição mínima.
- B)10.
Correta: ao reservar 2 maçãs para cada amigo, sobram 3 maçãs e o número de soluções não negativas de a + b + c = 3 é C(5,2) = 10.
- C)9.
9 é uma contagem subestimada e não corresponde ao número de soluções da distribuição com mínimo obrigatório.
- D)8.
8 também não resulta da contagem combinatória correta, pois ignora o método adequado de transformar a restrição em soma não negativa.
- E)6.
6 é menor do que o total real e costuma surgir de uma contagem incompleta, sem aplicar corretamente o método das estrelas e barras.
Gabarito: B
Quando a questão fala em distribuir maçãs indistinguíveis, a ideia não é "escolher uma por uma", mas contar quantas soluções inteiras existem para uma soma. Aqui, se os três amigos recebem quantidades x, y e z, temos x + y + z = 9, com a condição de que cada um receba ao menos 2. Isso é um clássico de contagem com restrição mínima. O truque é tirar primeiro o mínimo obrigatório: dê 2 maçãs para cada amigo. Assim, 6 maçãs já ficam comprometidas, e sobram 3 maçãs para distribuir livremente. Se chamarmos os acréscimos de a, b e c, então a + b + c = 3, com a, b e c maiores ou iguais a 0. Agora entra a fórmula de combinações com repetição, ou método das barras e estrelas: o número de soluções não negativas de a + b + c = 3 é C(3 + 3 - 1, 3 - 1) = C(5, 2) = 10. Por isso, o gabarito é B. Em resumo: o problema não é sobre permutar maçãs, porque elas são indistinguíveis; é sobre repartir uma quantidade fixa entre pessoas, respeitando o mínimo de cada uma. E aí a contagem vira uma soma de inteiros não negativos, bem no estilo favorito das bancas.