Com os elementos do conjunto C = {1, 2, 3, ⋯ , 18, 19} devemos formar dois conjuntos A e B tais que: • A ∪ B = C • A ∩ B = Ø • Os elementos de A e de B têm mesma soma. O número de elementos de A é, no mínimo, igual a
- A)5.
Errada, porque com apenas 5 elementos a maior soma possível é 15 + 16 + 17 + 18 + 19 = 85, que não chega a 95.
- B)6.
Certa, pois é possível formar um subconjunto com 6 elementos somando 95, e 6 é o menor tamanho possível.
- C)7.
Errada, porque 7 elementos também funcionariam, mas não representam o mínimo pedido pela questão.
- D)8.
Errada, porque 8 elementos certamente conseguem somar 95, mas isso ainda é maior do que o mínimo necessário.
- E)9.
Errada, porque 9 elementos também podem formar a soma 95, porém a questão pede o menor número de elementos.
Gabarito: B
Aqui a ideia é bem clássica de partilha em conjuntos: como A e B são disjuntos e sua união é C, eles formam uma divisão do conjunto {1, 2, ..., 19}. Então a soma de A mais a soma de B tem de ser a soma de todos os números de 1 a 19, isto é, 190. Como as somas devem ser iguais, cada conjunto precisa somar 95. Agora vem o pulo do gato: para ter a menor quantidade de elementos em A, você tenta montar 95 usando os maiores números possíveis. Se pegar os 5 maiores, 15 + 16 + 17 + 18 + 19 = 85, ainda falta. Com 6 elementos, já dá para chegar a 95, por exemplo: 19 + 18 + 17 + 16 + 15 + 10 = 95. Isso mostra que é possível fazer um conjunto A com 6 elementos e soma 95, e com isso B também terá soma 95. Logo, o menor número de elementos de A é 6. Então o gabarito B está correto. A banca gosta muito desse raciocínio de soma total, metade da soma e teste de viabilidade com os maiores elementos, porque evita enumeração inútil e vai direto ao ponto.