Gabi e Luana têm, cada uma delas, 3 bolas coloridas: uma branca, uma azul e uma vermelha. Há 3 caixas e Gabi e Luana colocam, cada uma delas de forma aleatória e independente, uma bola em cada caixa. A probabilidade de pelo menos uma caixa ter ficado com 2 bolas da mesma cor é
- A)1/2
Errada, porque 1/2 subestima a chance de haver coincidencia de cores em pelo menos uma caixa.
- B)1/3
Errada, esse valor nao corresponde ao complemento nem a contagem correta das permutacoes sem coincidencia.
- C)1/4
Errada, 1/4 seria uma probabilidade pequena demais para um evento que ocorre em bastante casos.
- D)2/3
Certa, pois a contagem pelo complemento leva a 1 - 1/3 = 2/3.
- E)3/4
Errada, 3/4 exagera a probabilidade e nao bate com a contagem das permutacoes possiveis.
Gabarito: D
Aqui a ideia é enxergar o problema como uma comparação entre duas distribuicoes aleatorias de 3 cores nas 3 caixas. Como cada uma coloca uma bola em cada caixa, isso equivale a embaralhar as 3 cores entre as 3 caixas. No total, ha 3! = 6 maneiras para Gabi e 3! = 6 para Luana, entao o espaco amostral tem 36 resultados equiprovaveis. Agora vem o pulo do gato: queremos a probabilidade de pelo menos uma caixa ficar com duas bolas da mesma cor. Isso acontece quando, em alguma caixa, as duas pessoas colocam a mesma cor. Em linguagem de contagem, estamos procurando pelo menos um "acerto" entre duas permutacoes das 3 cores. E muito mais facil calcular o complemento: nenhuma caixa com cores iguais. Isso significa que as cores ficaram todas desencontradas, isto e, Luana montou uma permutacao sem coincidencia com a de Gabi. Para 3 elementos, o numero de permutacoes sem ponto fixo e 2. Logo, ha 2 casos favoraveis ao complemento dentre 6 possibilidades de Luana, para cada escolha de Gabi. Assim, a probabilidade de nao haver coincidencia e 2/6 = 1/3. Portanto, a probabilidade pedida e 1 - 1/3 = 2/3. O gabarito D esta correto. O raciocinio e o classico uso de complemento, muito comum em provas da FGV quando a contagem direta ficaria mais chatinha do que precisa.