Os 214 alunos do curso de matemática de determinada universidade foram questionados a respeito da aprovação em três disciplinas do ciclo básico: cálculo I; iniciação à matemática; e, solução de problemas. Alguns resultados desta pesquisa são descritos a seguir: • 96 alunos aprovaram em cálculo I; • 38 alunos aprovaram em cálculo I e iniciação à matemática; • 122 alunos aprovaram em iniciação à matemática; • 28 alunos aprovaram em cálculo I e solução de problemas; • 84 alunos aprovaram em solução de problemas; e, • 32 alunos aprovaram em iniciação à matemática e solução de problemas. Considerando que os alunos aprovaram em, pelo menos, uma das disciplinas citadas, é correto afirmar que:
- A)12 alunos aprovaram nas três disciplinas.
Errada, porque o numero de alunos nas tres disciplinas e 10, nao 12.
- B)140 pessoas aprovaram em apenas uma disciplina.
Errada, porque em apenas uma disciplina aprovaram 136 alunos, nao 140.
- C)68 pessoas aprovaram em apenas duas disciplinas.
Certa, pois 68 alunos aprovaram em exatamente duas disciplinas.
- D)64 pessoas aprovaram em iniciação à matemática, mas não aprovaram em cálculo I e nem em solução de problemas.
Errada, porque em Iniciacao a Matematica apenas e em nenhuma das outras duas disciplinas sao 62 alunos, nao 64.
Gabarito: C
Em questoes de conjuntos, a ideia principal e contar sem repetir ninguem. Quando aparecem tres grupos, a ferramenta classica e o principio da inclusao-exclusao: soma os totais de cada conjunto, subtrai as intersecoes em pares e depois devolve a interseccao dos tres, porque ela foi subtraida demais. Aqui, os conjuntos sao: aprovados em Calculo I, em Iniciacao a Matematica e em Solucao de Problemas. Fazendo a conta, temos 96 + 122 + 84 - 38 - 28 - 32 = 204. Como o total de alunos e 214 e todos aprovaram em pelo menos uma disciplina, faltam 10 alunos na conta, que sao exatamente os que aprovaram nas tres ao mesmo tempo. Depois disso, basta achar os que ficaram em apenas duas disciplinas. O total das intersecoes em pares e 38 + 28 + 32 = 98, mas nesses pares os 10 alunos das tres disciplinas foram contados em cada par. Logo, o numero de alunos que aprovaram em exatamente duas e 98 - 3 x 10 = 68. Por isso, a alternativa C esta correta. A banca gosta de misturar intersecao de dois com intersecao de tres para ver se voce conta duas vezes o mesmo aluno sem perceber. Aqui, a chave e separar bem: 10 nas tres, 68 em exatamente duas, e o restante em apenas uma.