No cinema de um shopping center, 73 crianças aguardam para assistir à pré-estreia de um filme. Com o objetivo de fazer um sorteio de brindes, a administração solicitou que todas as crianças se organizassem em uma fila, posicionando-se uma atrás da outra. Qual o menor número de crianças deve ser sorteado para garantir que, das que foram sorteadas, tenha ao menos duas crianças vizinhas na fila?
- A)36
Errada, porque com 36 crianças ainda é possível distribuí-las sem deixar nenhuma dupla vizinha.
- B)37
Errada, porque 37 crianças também podem ser escolhidas em posições alternadas, sem vizinhas.
- C)38
Certa, pois 38 é o menor número que impede a distribuição alternada e garante ao menos duas crianças lado a lado.
- D)39
Errada, porque 39 até garante vizinhos, mas não é o menor número possível.
Gabarito: C
Essa questão é um clássico de contagem com uma ideia bem simples: se você quer garantir que exista pelo menos um par de crianças vizinhas, precisa pensar no pior cenário possível. O pior cenário é aquele em que as crianças sorteadas ficam espalhadas na fila, sem encostar em nenhuma outra sorteada. Numa fila com 73 posições, a maior quantidade de crianças que pode ser escolhida sem formar nenhum par vizinho é 37. Basta imaginar que você sorteia uma e pula uma, sorteia outra e pula uma, sempre alternando. Assim, você consegue pegar 37 crianças nas posições 1, 3, 5, 7... até a 73. Como 37 ainda permite escapar de qualquer dupla vizinha, para garantir que isso aconteça você precisa de uma a mais: 38 crianças. A partir de 38 sorteadas, não tem jeito - pelo menos duas vão ficar lado a lado. Isso é um uso direto do Princípio das Gavetas de Dirichlet, muito querido em questões de concurso. Portanto, o gabarito correto é a alternativa C, porque 38 é o menor número que obriga a existência de ao menos duas crianças vizinhas na fila.