O número de elementos de três conjuntos finitos nomeados por M, N e P é representado por n(M), n(N) e n(P), respectivamente. Sabendo-se que n(M ∪ N) = 10, n(M ∪ P) = 11, n(N ∪ P) = 12, n(M ∪ N ∪ P) = 13 e n(M ∩ N ∩ P) = 4, assinale a alternativa que corresponde à quantidade n(M) + n(N) + n(P).
- A)10
Errada, porque 10 é apenas o valor de uma união de dois conjuntos, e não a soma dos três conjuntos.
- B)12
Errada, porque 12 é apenas o valor de outra união de dois conjuntos, não o total pedido.
- C)18
Errada, porque 18 até parece um resultado plausível, mas não fecha com a fórmula de inclusão-exclusão usada no enunciado.
- D)24
Certa, pois aplicando inclusão-exclusão aos dados fornecidos chega-se a n(M)+n(N)+n(P)=24.
Gabarito: D
Quando o assunto é união de conjuntos, a palavra-chave é cuidado para não contar elemento repetido duas vezes. A fórmula de inclusão-exclusão é a sua melhor amiga: para três conjuntos, n(M ∪ N ∪ P) = n(M) + n(N) + n(P) - [n(M ∩ N) + n(M ∩ P) + n(N ∩ P)] + n(M ∩ N ∩ P). Na questão, você recebe as uniões aos pares: n(M ∪ N)=10, n(M ∪ P)=11 e n(N ∪ P)=12. Somando essas três expressões, aparece 2[n(M)+n(N)+n(P)] menos a soma das interseções parciais. Do outro lado, a união dos três é 13, e a interseção tripla vale 4. Montando o sistema, temos: (a+b)+(a+c)+(b+c) - 2[(interseções)] = 33, enquanto pela fórmula dos três conjuntos: a+b+c - [(interseções)] + 4 = 13, então a+b+c - [(interseções)] = 9. Subtraindo as equações, sobra a+b+c = 24. Logo, n(M)+n(N)+n(P)=24, que corresponde à alternativa D. Em questões da CONSULPLAN, o truque costuma ser esse: ela mistura uniões simples, uniões duplas e interseção tripla para ver se você sabe aplicar inclusão-exclusão sem se perder nas repetições.