Para dar uma maior comodidade aos seus clientes, um grande supermercado deseja construir um novo estacionamento que contará com 400 vagas para automóveis, distribuídas em n fileiras de x vagas cada. A equipe responsável pela construção do estacionamento precisa estabelecer em quantas fileiras tais vagas serão distribuídas. Sabendo-se que a única exigência imposta pelo supermercado foi de que todas as fileiras tivessem a mesma quantidade de vagas, de quantas formas diferentes as 400 vagas poderão ser distribuídas?
- A)8.
Errada, porque 8 não corresponde ao número de divisores de 400 nem ao total de formas de fatoração em fileiras iguais.
- B)12.
Errada, pois 12 ainda subestima as possibilidades; a contagem correta deve vir da decomposição em fatores primos.
- C)15.
Certa, porque 400 = 2^4 x 5^2 e, pelo número de divisores, temos (4 + 1)(2 + 1) = 15 distribuições.
- D)16.
Errada, porque 16 seria um valor próximo, mas não bate com a regra de contagem dos divisores de 400.
Gabarito: C
Aqui a ideia é bem clássica de contagem: se o estacionamento terá 400 vagas distribuídas em fileiras com a mesma quantidade de vagas, você está procurando os pares de fatores de 400. Em outras palavras, cada forma de distribuição corresponde a escolher um número de fileiras e, para cada escolha, um número inteiro de vagas por fileira que complete o total. Nada de sobrar vaga nem de fileira torta: tudo precisa fechar direitinho. Então basta contar quantos divisores positivos o número 400 possui. Fazendo a decomposição em fatores primos, temos 400 = 2^4 x 5^2. Pela regra dos divisores, o total é dado por (4 + 1)(2 + 1) = 15. Esse é o raciocínio que a banca quer: contar as possibilidades de formar o produto 400 com dois fatores inteiros positivos. Se você quiser visualizar, pense em pares como 1 x 400, 2 x 200, 4 x 100, e assim por diante. Cada par representa uma forma diferente de organizar as vagas em fileiras iguais. Como a ordem importa na montagem física do estacionamento, mas o problema pede apenas quantas distribuições existem, contamos os pares possíveis de fatoração. Por isso, o gabarito é a alternativa C, com 15 formas diferentes. É uma aplicação direta de contagem por divisores, um assunto que costuma aparecer bastante em provas quando a banca quer misturar matemática básica com interpretação do enunciado.