Em uma delegacia, 20 tarefas iguais devem ser distribuídas entre os escrivães x1, x2, x3 e x4, de forma que x1 receba pelo menos duas tarefas, x2 receba pelo menos três tarefas, x3 receba pelo menos quatro tarefas e, finalmente, x4 receba pelo menos cinco tarefas. Assinale a opção que apresenta a quantidade de maneiras em que as tarefas podem ser distribuídas entre os escrivães nessa situação hipotética.
- A)84
Certa, porque após descontar os mínimos obrigatórios restam 6 tarefas, cuja distribuição entre 4 escrivães é dada por C(9,3) = 84.
- B)120
Errada, porque 120 não corresponde à contagem de soluções inteiras não negativas para a distribuição das tarefas restantes.
- C)210
Errada, porque 210 seria um valor compatível com outra contagem combinatória, mas não com este problema de estrelas e barras.
- D)1.711
Errada, porque 1.711 não aparece na aplicação correta do princípio de contagem usado neste tipo de distribuição.
- E)4.845
Errada, porque 4.845 é muito maior do que o número de formas obtido após aplicar os mínimos e contar apenas as tarefas restantes.
Gabarito: A
Quando a questão fala em distribuir tarefas idênticas com quantidade mínima para cada pessoa, o caminho clássico é tirar primeiro o mínimo obrigatório de cada um. Aqui, os escrivães precisam receber, no mínimo, 2, 3, 4 e 5 tarefas, somando 14. Como existem 20 tarefas no total, sobram 6 tarefas para serem distribuídas livremente. Depois disso, o problema vira uma contagem de soluções inteiras não negativas: quantas formas existem de repartir 6 tarefas entre 4 pessoas? Isso é o famoso método de estrelas e barras, muito usado em contagem combinatória. A quantidade de soluções de x1 + x2 + x3 + x4 = 6 é C(6 + 4 - 1, 4 - 1) = C(9,3). Calculando, C(9,3) = 84. Então a alternativa correta é a letra A. Não tem truque escondido: é só garantir os mínimos, transformar o resto em distribuição livre e aplicar combinações com repetição. Em provas da CESPE/CEBRASPE, esse tipo de questão costuma testar justamente se você percebe que os itens são iguais e que há restrições mínimas, o que derruba muita gente que tenta montar caso a caso.