Em uma urna, há bolas pequenas e bolas grandes, sendo 75% pequenas e as demais são grandes. Das bolas pequenas, 20% são azuis e as demais são vermelhas e, das bolas grandes, 60% são azuis e as demais são vermelhas. Retira-se, aleatoriamente, uma bola da urna e constata-se que ela é azul. A probabilidade de a bola retirada ser pequena é de
- A)20%.
Errada, porque 20% é a taxa de bolas azuis entre as pequenas, e não a probabilidade pedida depois de já saber que a bola saiu azul.
- B)25%.
Errada, porque 25% é a proporção de bolas grandes na urna, não a probabilidade condicional de ser pequena dado que a bola é azul.
- C)30%.
Errada, porque 30% é a chance total de a bola ser azul, não a chance de ela ser pequena entre as azuis.
- D)40%.
Errada, porque 40% não corresponde a nenhum dos cálculos corretos do problema; é um valor distrator comum quando se tenta chutar sem Bayes.
- E)50%.
Certa, porque as probabilidades de sair azul vindo de bola pequena e de bola grande são iguais, então, entre as azuis, metade é pequena.
Gabarito: E
Aqui a ideia é clássica: quando você sabe que o resultado observado foi "bola azul", você não olha só para a porcentagem inicial de bolas pequenas e grandes. Você precisa pesar também qual tipo de bola tinha mais chance de gerar uma bola azul. Isso é exatamente o raciocínio de probabilidade condicional, bem na linha do teorema de Bayes. Vamos organizar as informações: 75% das bolas são pequenas e 25% são grandes. Entre as pequenas, 20% são azuis, então a chance de pegar uma bola pequena azul é 0,75 x 0,20 = 0,15. Entre as grandes, 60% são azuis, então a chance de pegar uma bola grande azul é 0,25 x 0,60 = 0,15. Perceba o truque elegante: as duas probabilidades deram o mesmo valor. Como a bola saiu azul, pequena e grande contribuíram igualmente para esse evento. Então a chance de a bola azul ter sido pequena é 0,15 dividido pelo total de bolas azuis, que é 0,15 + 0,15 = 0,30. Logo, a probabilidade pedida é 50%. Em linguagem de Bayes, P(pequena | azul) = P(pequena e azul) / P(azul) = 0,15 / 0,30 = 0,5. O gabarito é E.