O escudo de um time de voleibol possui uma estrela inscrita em um hexágono. Ele foi elaborado a partir de um hexágono regular ABCDEF com medida do lado igual a 4 cm. Prolongando-se os lados desse hexágono, foi obtido outro hexágono regular, com vértices nos pontos G, H, I, J, K e L, conforme a figura. A razão entre as medidas das áreas do hexágono maior e do menor é
- A)√3
Errada, porque a razão das áreas não cresce pela raiz de 3, e sim pelo quadrado da razão de semelhança.
- B)2
Errada, porque o aumento linear entre os hexágonos não é 2; se fosse, a área seria 4.
- C)2√3
Errada, porque 2 raiz de 3 seria uma razão linear, não a razão entre áreas.
- D)3
Certa, pois o hexágono maior é semelhante ao menor com fator de escala raiz de 3, então a razão das áreas é 3.
Gabarito: D
Em um hexágono regular, acontece um truque bonito: o lado e o raio da circunferência circunscrita têm a mesma medida. Isso facilita muito a vida, porque basta comparar os lados para comparar as áreas, já que figuras semelhantes têm áreas proporcionais ao quadrado da razão de semelhança. Aqui, o hexágono menor tem lado 4 cm. Ao prolongar os lados, forma-se outro hexágono regular maior. Pela geometria da figura, a medida do lado do hexágono maior fica multiplicada por raiz de 3 em relação ao menor. Então a razão entre as áreas é (raiz de 3)^2 = 3. Ou seja, o gabarito D está correto porque a área cresce com o quadrado da medida linear. Se o lado aumenta por um fator raiz de 3, a área aumenta por um fator 3. Sem drama, sem mágica: só semelhança e área de figura plana. Se você quiser enxergar pela composição do hexágono regular, ele pode ser dividido em 6 triângulos equiláteros congruentes. Como o hexágono maior é semelhante ao menor, a comparação das áreas segue exatamente essa lógica de escala.