Seja M uma matriz quadrada de ordem 4, com todos os elementos iguais a 2. Chamamos de DM o determinante da matriz M. Se multiplicarmos todos os elementos da matriz M por 4, o novo determinante será:
- A)4 x DM.
Errada, porque o determinante não é multiplicado por 4 quando todos os elementos da matriz de ordem 4 são multiplicados por 4.
- B)256 x DM.
Certa, pois ao multiplicar toda a matriz de ordem 4 por 4, o determinante é multiplicado por 4^4 = 256.
- C)DM/4.
Errada, porque dividir o determinante por 4 não corresponde à propriedade de escala aplicada a uma matriz quadrada de ordem 4.
- D)16 x DM.
Errada, pois 16 seria o fator correto apenas se a matriz fosse de ordem 2; na ordem 4, o fator é 4^4.
Gabarito: B
Quando você multiplica todos os elementos de uma matriz quadrada por um mesmo número k, o determinante não cresce de forma linear: ele é multiplicado por k elevado à ordem da matriz. Aqui, a matriz é de ordem 4, então o fator é 4^4. Isso significa que, ao multiplicar cada elemento de M por 4, o novo determinante fica 4^4 vezes o determinante original. Como 4^4 = 256, o novo determinante é 256 x DM. Um detalhe importante: como a matriz original tem todos os elementos iguais a 2, ela é uma matriz com linhas proporcionais, então seu determinante é zero. Mas a questão pede a relação entre os determinantes, e não o valor numérico em si. Então, a resposta correta é a letra B. A regra usada aqui é uma propriedade básica dos determinantes: se toda a matriz é multiplicada por k, o determinante é multiplicado por k^n, em que n é a ordem da matriz.