Considere uma reta do tipo y = ax + b e a circunferência de raio 2 centrada em (2,0) no plano xy. Para que essa reta tangencie esta circunferência em um ponto no primeiro quadrante, as únicas possibilidades para os coeficientes a e b são:
- A)a = 1 e b = 2.
Errada, porque a distância do centro da circunferência até essa reta não é igual ao raio 2.
- B)a = 10 e b = −1/2.
Errada, porque os coeficientes geram uma reta muito distante do centro, então não há tangência.
- C)a = 3/4 e b = 1.
Certa, pois a distância do centro (2,0) à reta é exatamente 2, que é o raio da circunferência.
- D)a = −1 e b = 1/2.
Errada, porque a condição de tangência não é satisfeita por esses coeficientes.
Gabarito: C
Para uma reta ser tangente a uma circunferência, a distância do centro da circunferência até a reta precisa ser exatamente igual ao raio. Aqui, o centro é (2,0) e o raio é 2. Então a gente testa a reta y = ax + b pela condição de distância: ao escrever como ax - y + b = 0, a distância do ponto (2,0) fica |2a + b| / sqrt(a^2 + 1). Na alternativa C, temos a = 3/4 e b = 1. Substituindo: |2(3/4) + 1| / sqrt((3/4)^2 + 1) = |3/2 + 1| / sqrt(25/16) = (5/2) / (5/4) = 2. Perfeito: a distância ao centro é igual ao raio, então a reta é tangente. Além disso, o ponto de tangência fica no primeiro quadrante, o que também bate com a figura algébrica da reta. Se você resolver o sistema da reta com a circunferência, aparece uma única interseção, com x > 0 e y > 0. Ou seja, não é só encostar: encostar no lugar certo. As outras opções falham na conta da distância. Em questões assim, o macete é lembrar: tangência com circunferência sempre chama a condição de distância do centro à reta igual ao raio. O resto é fazer a conta com calma, sem dar chance para a banca inventar moda.