Seja f:R − {2} ⟶ R − {1} definida por f(x) = x+1 / x+2 . O domínio e a lei de formação da inversa f −1(y), respectivamente, são
- A)D = {y ∈ R|y ≠ −1} e f −1(y) = 2y + 1 / y - 1
Errada, porque o domínio deveria excluir 1, não -1, embora a expressão da inversa esteja correta.
- B)D = {y ∈ R|y ≠ 1} e f −1(y) = 2y + 1 / y - 1
Certa, pois a inversa é obtida isolando x em y = (x + 1)/(x - 2), resultando em f^{-1}(y) = (2y + 1)/(y - 1), com domínio y ≠ 1.
- C)D = {y ∈ R|y ≠ −1} e f −1(y) = y - 1 / y + 1
Errada, porque tanto o domínio quanto a lei da inversa estão incorretos.
- D)D = {y ∈ R|y ≠ 1} e f −1(y) = y - 1 / y + 1
Errada, porque a lei da inversa está errada e o domínio também não corresponde ao da função inversa.
Gabarito: B
Para achar a inversa, a ideia é trocar o papel de x e y e isolar a variável. Se a função é f(x) = (x + 1)/(x - 2), então você faz y = (x + 1)/(x - 2), multiplica em cruz e resolve para x. Fica y(x - 2) = x + 1, ou seja, yx - 2y = x + 1. Passando os termos com x para um lado, você obtém x(y - 1) = 2y + 1, então x = (2y + 1)/(y - 1). Essa é a lei da inversa. Agora vem o domínio da inversa: ele é o conjunto imagem da função original. Como a função original não pode assumir o valor 1, a inversa não pode receber y = 1 no denominador. Então o domínio da inversa é D = {y ∈ R | y ≠ 1}. Repare como a alternativa B junta exatamente essas duas ideias: domínio excluindo 1 e fórmula (2y + 1)/(y - 1). É a conta clássica de inversa de função racional, sem mistério e sem feitiço matemático de última hora.