Ao verificar a seguinte equação abaixo, é possível determinar que: 2x3 - 9x2 + 12x + 6 = 0
- A)Há duas raízes duplas.
Errada, porque não existem duas raízes duplas nesta equação.
- B)Não há raízes duplas nessa equação.
Certa, pois nenhum valor zera ao mesmo tempo o polinômio e sua derivada, logo não há raiz dupla.
- C)Há somente uma raiz dupla.
Errada, porque nem sequer existe uma raiz dupla nessa equação.
- D)Há múltiplas raízes duplas.
Errada, pois a equação não apresenta múltiplas raízes duplas.
Gabarito: B
Quando uma equação polinomial tem raiz dupla, isso significa que uma mesma raiz aparece repetida. Na prática, o teste mais rápido é olhar a derivada: se um número for raiz da equação e também zerar a derivada, então há multiplicidade nessa raiz. Se não acontecer isso, não existe raiz dupla. Aqui, a função é f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x + 6. Derivando, temos f'(x) = 6x^2 - 18x + 12 = 6(x - 1)(x - 2). Ou seja, os candidatos a raiz dupla seriam x = 1 e x = 2. Só que a festa acaba cedo: f(1) = 11 e f(2) = 10, então nenhum desses valores zera a equação original. Conclusão: não há raiz dupla nessa equação. A letra B está correta porque, para existir raiz múltipla, o valor precisa anular simultaneamente o polinômio e sua derivada, e isso não acontece aqui. Em resumo, a banca quer ver se você identifica multiplicidade sem sair fatorando tudo no susto. Derivada e substituição, nesse caso, resolvem o serviço com elegância.