O polinômio P(x) = 12x3− 25x2 + x + 2 tem valor numérico nulo quando x = 2. Existem ainda outros dois valores racionais que, atribuídos a x, anulam o polinômio. O produto desses dois números pode ser encontrado dividindo-se P (x) por
- A)(x − 2), pois ele corresponde ao termo independente do polinômio quociente obtido nessa divisão.
Errada: (x - 2) é um fator, mas o produto das outras raízes não corresponde ao termo independente do quociente.
- B)(x + 2), pois ele corresponde ao simétrico do termo independente do polinômio quociente obtido nessa divisão.
Errada: o simétrico de 2 seria -2, mas o divisor correto vem do zero já conhecido em x = 2.
- C)(x − 2), pois ele corresponde à metade do termo independente do polinômio quociente obtido nessa divisão.
Errada: não há relação de 'metade do termo independente' com o produto das raízes do quociente.
- D)(x + 2), pois ele corresponde à quarta parte do termo independente do polinômio quociente obtido nessa divisão.
Errada: a quarta parte do termo independente também não é a regra para produto de raízes de uma quadrática.
- E)(x − 2), pois ele corresponde a um doze avos do termo independente do polinômio quociente obtido nessa divisão.
Certa: ao dividir por (x - 2), o quociente é 12x^2 - x - 1, e o produto das outras raízes é c/a = -1/12, isto é, um doze avos do termo independente.
Gabarito: E
Quando um polinômio zera em x = 2, isso quer dizer que (x - 2) é um fator dele. Essa ideia vem do Teorema do Resto e do Teorema do Fator: se P(2) = 0, então a divisão de P(x) por (x - 2) tem resto zero. Fazendo a divisão de 12x^3 - 25x^2 + x + 2 por (x - 2), você obtém o quociente 12x^2 - x - 1. Então o polinômio fica escrito como P(x) = (x - 2)(12x^2 - x - 1). Agora vem o ponto-chave: os outros dois valores racionais que anulam o polinômio são as raízes do quociente 12x^2 - x - 1. Em uma equação do segundo grau ax^2 + bx + c, o produto das raízes é c/a. Aqui, isso dá (-1)/12. Perceba a leitura da alternativa correta: o produto desses dois números é um doze avos do termo independente do quociente. Como o termo independente é -1, o produto é -1/12. A banca FGV gosta desse tipo de detalhe: fatoração, resto zero e leitura cuidadosa do quociente, sem pular etapas.