No plano cartesiano considere os pontos: A(3, 2), B(0, 1) e C(4, y), com y > 0. Os pontos B e C são equidistantes de A. O valor de y é
- A)5.
Correta: ao igualar as distâncias de B e C até A, obtém-se \(y=5\) ou \(y=-1\), e a condição \(y>0\) elimina a segunda solução.
- B)6.
Errada: 6 não satisfaz a igualdade das distâncias entre os pontos em relação a A.
- C)7.
Errada: 7 também não resolve a equação obtida pela condição de equidistância.
- D)8.
Errada: 8 não torna B e C equidistantes de A.
- E)9.
Errada: 9 não aparece como solução da equação de distância e viola a conta feita no plano.
Gabarito: A
Quando dois pontos são equidistantes de um terceiro, você simplesmente iguala as distâncias entre eles. Aqui, B e C estão à mesma distância de A, então vamos comparar AB com AC usando a fórmula da distância no plano cartesiano. Sem drama: é só aplicar Pitágoras disfarçado de coordenadas. Calculando AB, temos \((3-0)^2 + (2-1)^2 = 9 + 1 = 10\), então a distância ao quadrado é 10. Para AC, fica \((4-3)^2 + (y-2)^2 = 1 + (y-2)^2\). Como as distâncias são iguais, os quadrados também são iguais, então \(1 + (y-2)^2 = 10\). Daí, \((y-2)^2 = 9\), o que dá \(y-2 = 3\) ou \(y-2 = -3\). Logo, \(y = 5\) ou \(y = -1\). Como o enunciado diz que \(y > 0\), sobra somente \(y = 5\). Então o gabarito A está correto porque é o único valor positivo que mantém os pontos B e C à mesma distância de A. É um caso clássico de geometria analítica: igualdade de distâncias, conta algébrica e seleção da solução compatível com a condição do problema.