Considere uma sequência infinita de números reais (αn )n ∈ℕ. Se essa sequência é uma Progressão Geométrica, é necessariamente verdadeiro que
- A)α2 ⋅ α7 = α3⋅ α6
Certa, porque em qualquer PG vale a propriedade \u03b1_i \cdot \u03b1_j = \u03b1_k \cdot \u03b1_l quando i + j = k + l, e aqui 2 + 7 = 3 + 6.
- B)α5 + α8 = α3 + α14
Errada, porque soma de termos nao segue essa regra da PG, e ainda por cima os indices 5 + 8 e 3 + 14 nao tem a mesma soma.
- C)α2 ⋅ α7 = α3⋅ α8
Errada, porque embora haja produto de termos, as somas dos indices nao coincidem: 2 + 7 = 9 e 3 + 8 = 11.
- D)α5 + α8 = α3 + α6
Errada, porque essa igualdade envolve soma de termos, algo que nao e uma propriedade necessaria de progressao geometrica.
- E)α22 ⋅ α24 = α3
Errada, porque a identidade proposta nao corresponde a nenhuma propriedade geral de PG e mistura potencias de forma sem relacao com a regra dos indices.
Gabarito: A
Em uma progressao geometrica, cada termo pode ser escrito como a_n = a_1 \cdot r^{n-1}. Isso faz aparecer uma propriedade bem famosa: o produto de dois termos depende da soma dos seus indices. Em outras palavras, se i + j = k + l, entao a_i \cdot a_j = a_k \cdot a_l. Essa e a “assinatura” da PG, e ela costuma aparecer em questoes de concurso com cara de truque simples. Aplicando isso, temos 2 + 7 = 9 e 3 + 6 = 9. Como a soma dos indices e a mesma, o produto tambem deve ser o mesmo: \u03b1_2 \cdot \u03b1_7 = \u03b1_3 \cdot \u03b1_6. Pronto, sem drama matematico: a alternativa A traduz exatamente essa propriedade. Se voce quiser enxergar pela formula, fica ainda mais claro: \u03b1_2 = a_1 r, \u03b1_7 = a_1 r^6, \u03b1_3 = a_1 r^2 e \u03b1_6 = a_1 r^5. Os dois lados viram a_1^2 r^7. Mesma coisa, mesma conta, mesma paz. A banca FGV gosta muito de explorar propriedades estruturais da PG em vez de contas longas. Entao, quando aparecer produto de termos de uma PG, olhe primeiro para a soma dos indices. Se bater, ha grande chance de ser o caminho certo.