Lúcia tem uma mesa em sua sala. Sobre essa mesa, estão duas esferas. Lúcia verifica que a distância do piso horizontal da sala ao ponto mais alto da primeira esfera, que repousa diretamente sobre a mesa, é 120 cm. Em seguida, Lúcia coloca a outra esfera no chão, debaixo da mesa, e verifica que a distância do tampo horizontal da mesa ao ponto mais alto da segunda esfera é de 40 cm. Se a diferença entre os raios das esferas é 12 cm e a espessura do tampo da mesa é desprezível, é correto concluir que a menor das esferas tem raio igual a
- A)14 cm.
Correta: ao montar as duas relações de altura e usar a diferença de 12 cm entre os raios, a menor esfera resulta em 14 cm.
- B)15 cm.
Errada: 15 cm não satisfaz simultaneamente as duas condições de altura e a diferença entre os raios.
- C)16 cm.
Errada: 16 cm não fecha o sistema formado pelas medidas dadas no enunciado.
- D)17 cm.
Errada: 17 cm é compatível apenas com uma leitura incompleta, mas não com todos os dados do problema.
- E)18 cm.
Errada: 18 cm seria um raio possível apenas se a diferença entre os raios fosse outra.
Gabarito: A
A ideia aqui é transformar a figura em equações simples de altura. Se a primeira esfera está sobre a mesa, a altura do piso até o ponto mais alto dela é a altura da mesa somada ao diâmetro da esfera, isto é, h + 2r1 = 120. Já a segunda esfera está no chão, debaixo da mesa. Então, do tampo da mesa até o ponto mais alto dela, sobra a altura da mesa menos o diâmetro da esfera: h - 2r2 = 40. Agora vem o pulo do gato: como a espessura do tampo é desprezível, a mesma altura h aparece nas duas contas. Subtraindo as equações, você obtém r1 + r2 = 40. Como o enunciado diz que a diferença entre os raios é 12 cm, temos também r1 - r2 = 12. Resolvendo o sisteminha, r1 = 26 e r2 = 14. Portanto, a menor esfera tem raio 14 cm, que é exatamente a alternativa A. É aquele tipo de questão em que a geometria faz pose de difícil, mas no fundo só quer um sistema bem montado.