A figura a seguir ilustra uma reta r sobre a qual há um ponto A. O segmento de reta AB mede 10 cm e forma, com a reta r, um ângulo de 30º. Deseja-se construir um segmento de reta BC, de modo que o ponto C pertença à reta r. É correto concluir que
- A)é impossível tal construção com BC medindo 12 cm.
Errada, porque 12 cm é maior que a menor distância de B à reta r, então essa construção é possível.
- B)é possível tal construção com BC medindo 12 cm, mas tal construção é única.
Errada, porque 12 cm até é possível, mas a construção não é única: há dois pontos em r que podem gerar esse comprimento.
- C)é impossível tal construção com BC medindo 7 cm.
Errada, porque 7 cm também é maior que a distância mínima de B à reta r, então a construção é possível.
- D)é possível tal construção com BC medindo 7 cm, e tal construção não é única.
Certa, porque 7 cm pode ser obtido com C na reta r e, para esse comprimento, a construção não é única.
- E)é impossível tal construção com BC medindo 5 cm.
Errada, porque 5 cm é exatamente a menor distância de B à reta r, então a construção é possível.
Gabarito: D
A ideia aqui é olhar para a distância de um ponto a uma reta. Como o ponto B está fora da reta r, o menor segmento que você consegue ligar de B até r é o perpendicular, isto é, a distância mínima de B à reta. O segmento AB mede 10 cm e faz 30° com a reta r, então essa altura vale 10·sen(30°) = 5 cm. Em outras palavras: qualquer segmento BC com C na reta r precisa medir pelo menos 5 cm. Isso já derruba as alternativas que falam em impossibilidade com 7 cm ou 12 cm, porque esses valores são maiores que 5 cm, logo são perfeitamente atingíveis. Além disso, para qualquer comprimento maior que 5 cm, existem dois pontos da reta r que podem servir de C, um de cada lado do pé da perpendicular. Ou seja, a construção não é única. No caso de 7 cm, como 7 > 5, a construção é possível e há mais de uma escolha para C. Por isso o gabarito é a letra D. Em geometria plana, esse é um clássico: primeiro achar a menor distância do ponto à reta e depois ver se o valor pedido está acima dela. Sem susto, sem magia, só trigonometria básica.