Seja N = 64 / 3x + 1 A soma dos valores inteiros de x para os quais o valor de N também é inteiro é
- A)18.
Errada, porque a soma dos valores inteiros de x que tornam N inteiro nao chega a 18.
- B)15.
Errada, pois considerar apenas alguns divisores de 64 leva a uma soma incorreta.
- C)12.
Certa, porque os valores de x encontrados a partir dos divisores admissiveis de 64 somam 12.
- D)10.
Errada, já que a lista completa de casos validos nao resulta em 10.
- E)9.
Errada, porque a filtragem correta dos divisores gera uma soma diferente de 9.
Gabarito: C
Quando uma expressão do tipo 64/(3x+1) precisa ser inteira, o truque é olhar para o denominador: ele tem de ser um divisor de 64. Ou seja, 3x+1 precisa assumir valores que dividem 64 sem deixar resto. Parece malandragem da banca, mas é só teoria dos divisores vestida de matemática básica. Os divisores inteiros de 64 sao ±1, ±2, ±4, ±8, ±16, ±32 e ±64. Agora vem o filtro importante: nem todo divisor serve, porque 3x+1 tem de gerar um x inteiro. Entao testamos quais desses valores deixam 3x+1 congruente a 1 modulo 3, isto é, quais permitem escrever x = (d-1)/3 como inteiro. Os valores que funcionam sao 1, 4, 16, 64, -2, -8 e -32. Isso gera, respectivamente, x = 0, 1, 5, 21, -1, -3 e -11. Somando tudo: 0 + 1 + 5 + 21 - 1 - 3 - 11 = 12. Portanto, o gabarito correto é a alternativa C. A ideia central é sempre essa: quando uma fração deve ser inteira, o denominador precisa dividir o numerador, e depois voce ainda confere se o valor encontrado realmente produz x inteiro.