Suponha a existência de uma dada etnia que registre quantidades fazendo nós e laços em cipós. Ao fazer a contagem de objetos, os indivíduos dessa etnia, primeiramente, agrupam-nos de 4 em 4 até que isso não seja mais possível. Cada grupo de 4 é representado por um laço no cipó. As unidades remanescentes são representadas por nós que são dados nesse mesmo cipó. Nesse sistema de contagem, é impossível que um cipó
- A)não tenha nós e tenha apenas laços.
Errada, porque é perfeitamente possível ter quantidade exata de múltiplos de 4, resultando em zero nós e apenas laços.
- B)tenha exatamente 3 laços.
Errada, porque 3 laços podem aparecer normalmente quando a quantidade total estiver entre 12 e 15.
- C)tenha exatamente 3 nós.
Errada, porque 3 nós também é possível, já que o resto da divisão por 4 pode ser 3.
- D)tenha mais do que 4 laços.
Errada, porque qualquer número de laços é possível, bastando haver pelo menos 5 grupos completos de 4.
- E)tenha mais do que 4 nós.
Certa, porque o número de nós é sempre o resto da divisão por 4, e esse resto nunca pode ser maior que 3.
Gabarito: E
Aqui a ideia é uma contagem em base 4, mas com uma roupagem de cipó: cada grupo completo de 4 vira um laço, e o que sobra vira nós. Em outras palavras, qualquer quantidade pode ser escrita como 4q + r, com r sendo o resto da divisão por 4. Esse resto só pode ser 0, 1, 2 ou 3. Então, o número de laços pode variar bastante, porque depende de quantos grupos completos de 4 aparecem. Já o número de nós é outra história: ele é exatamente o resto da divisão por 4. Por definição, resto não passa de 3. É aqui que a questão dá sua piscada malandra. Por isso, é impossível existir um cipó com mais do que 4 nós. Se sobrassem 5 ou mais unidades, isso significaria que ainda daria para formar mais um grupo de 4, o que contradiz a regra do sistema. Formalmente, isso é apenas a propriedade da divisão euclidiana: para qualquer inteiro n, existe q e r tais que n = 4q + r, com 0 <= r < 4. Logo, a alternativa incorreta é a que fala em mais de 4 nós. O resto máximo possível é 3, então essa quantidade nunca acontece nesse sistema de contagem.