Considere dois números inteiros positivos x e y, tais que xy − y 2 + 24 = 0. A soma dos possíveis valores de x é
- A)48.
Errada: 48 nao corresponde a soma dos valores de x obtidos a partir dos pares de fatores validos de 24.
- B)40.
Certa: os valores possiveis de x sao 2, 5, 10 e 23, e a soma deles e 40.
- C)32.
Errada: 32 e o tipo de resultado que aparece quando se descarta ou conta mal os pares de fatores.
- D)24.
Errada: 24 nao e a soma correta dos valores possiveis de x nessa fatoracao.
- E)16.
Errada: 16 surge de uma contagem incompleta dos casos possiveis.
Gabarito: B
A ideia aqui é transformar a equacao em um produto. Partindo de xy - y^2 + 24 = 0, voce pode escrever y(x - y) = -24. Como x e y sao inteiros positivos, isso ja diz muita coisa: o lado esquerdo precisa ser negativo, entao x - y tem que ser negativo, ou seja, x < y. Agora vem o truque classico de concurso: troque a leitura para y(y - x) = 24. Assim, voce passa a procurar pares de fatores positivos de 24. Como y e y - x sao inteiros positivos, basta listar os pares: (1,24), (2,12), (3,8), (4,6), (6,4), (8,3), (12,2) e (24,1). Mas nem todo par serve. Como x = y - (y - x), voce precisa de x positivo, entao y tem de ser maior que y - x. Em outras palavras, so funcionam os pares em que o primeiro numero e maior que o segundo: (6,4), (8,3), (12,2) e (24,1). Desses pares, obtemos x = 2, 5, 10 e 23. Somando: 2 + 5 + 10 + 23 = 40. Por isso, o gabarito e a alternativa B. O segredo da questao e enxergar a equacao como uma fatoracao esperta, nao como uma conta longa.