Considere um polígono convexo C de 13 lados cujos vértices são P1, P2, P3, P4, ⋯ , P12, P13. De um ponto Q no interior desse polígono, são traçados 13 segmentos, cada um deles ligando Q a um vértice distinto de C. Para calcular a soma de todos os 13 ângulos internos de C, Antígona usou a seguinte estratégia: 1º Somou todos os ângulos internos dos 13 triângulos que têm lado comum com C e vértice Q, obtendo o resultado S1; 2º Somou os ângulos internos com vértice em Q dos 13 triângulos descritos na etapa anterior, obtendo o resultado S2; Em seguida, Antígona calculou corretamente S1 − S2 e obteve
- A)1620º.
Errada, porque 1620° seria a soma dos ângulos internos de um polígono de 11 lados, não de 13 lados.
- B)1980º.
Certa, pois 13 triângulos somam 2340° e os ângulos em torno de Q somam 360°, logo 2340° - 360° = 1980°.
- C)2030º.
Errada, pois 2030° não corresponde nem à conta dos triângulos nem à fórmula da soma dos ângulos internos de um 13-gono.
- D)2160º.
Errada, porque 2160° seria a soma dos ângulos internos de um polígono de 14 lados, então não serve aqui.
- E)2340º.
Errada, pois 2340° é apenas a soma de todos os ângulos internos dos 13 triângulos, antes de subtrair os ângulos de Q.
Gabarito: B
A ideia da questão é montar o polígono em pedacinhos triangulares. Como o polígono tem 13 lados, Antígona forma 13 triângulos com vértice em Q, um para cada lado do polígono. Em cada triângulo, a soma dos ângulos internos é 180°, então o total de S1 é 13 x 180° = 2340°. Agora vem o truque elegante: S2 é a soma dos ângulos desses triângulos que têm vértice em Q. Como Q está no interior de um polígono convexo, esses 13 ângulos ao redor de Q completam uma volta inteira, isto é, 360°. Não tem mistério, é a velha soma dos ângulos em torno de um ponto. Então basta fazer S1 - S2 = 2340° - 360° = 1980°. É exatamente a soma dos ângulos internos do 13-gono, já que a fórmula geral também daria (13 - 2) x 180° = 1980°. Logo, o gabarito correto é a alternativa B. A conta conversa direitinho com a geometria clássica: triângulos ajudam a “desmontar” o polígono, e o ponto interno Q faz aparecer a volta completa de 360°.