Sobre a igualdade √ a²-b² = a-b, sendo a e b números reais, é correto afirmar que
- A)nunca é verdadeira.
Errada, porque a igualdade pode ser verdadeira em alguns casos específicos, como quando \(a=b\) ou quando \(b=0\) e \(a>0\).
- B)é verdadeira se, e somente se, a ≥ b.
Errada, porque a condição \(a\ge b\) é necessária, mas não é suficiente para garantir a igualdade.
- C)é verdadeira se, e somente se, a> b e b=0.
Errada, porque \(b=0\) e \(a>b\) não é a única situação possível: também funciona quando \(a=b\).
- D)é verdadeira se, e somente se a=b ou (b=0 e a > 0).
Certa, pois a igualdade ocorre exatamente quando \(a=b\) ou quando \(b=0\) e \(a>0\).
- E)sempre é verdadeira.
Errada, porque a igualdade não vale para quaisquer reais; ela depende de condições específicas entre \(a\) e \(b\).
Gabarito: D
Quando aparece uma igualdade com raiz quadrada, o primeiro cuidado é lembrar que a raiz principal nunca é negativa. Então, em \(\sqrt{a^2-b^2}=a-b\), o lado direito precisa ser maior ou igual a zero. Isso já impõe a condição \(a\ge b\). Depois, para descobrir quando a igualdade realmente funciona, vale a velha tática do "quadrar os dois lados". Fazendo isso, você obtém \(a^2-b^2=(a-b)^2\), o que simplifica para \(2b(a-b)=0\). Ou seja, obrigatoriamente acontece \(b=0\) ou \(a=b\). Agora vem o ajuste fino: se \(a=b\), a equação vira \(\sqrt{0}=0\), então funciona sem drama. Se \(b=0\), a expressão vira \(\sqrt{a^2}=a\), e como \(\sqrt{a^2}=|a|\), isso só vale quando \(a>0\) ou, no caso \(a=0\), já caímos em \(a=b\). Por isso a condição correta é exatamente: \(a=b\) ou \((b=0 \text{ e } a>0)\). Em resumo: a resposta D está certa porque ela junta todas as possibilidades reais da igualdade, sem deixar passar soluções falsas criadas ao elevar ao quadrado. Esse é um clássico de raciocínio lógico e álgebra: atenção à raiz e cuidado com soluções extras.